¿Qué significa que un conjunto esté abierto dentro de otro conjunto?

Question

Estoy haciendo un curso de análisis de grado, y la semana pasada empezamos a tratar la conectividad. Antes de definir la conectividad, nuestro profesor nos dio una definición alternativa de conjunto abierto. Esta es la definición:

Dejemos que ${U\subset S\subseteq \mathbb{R}^n}$ . ${U}$ está abierto en ${S}$ si ${U = S\cap V}$ para algunos ${V}$ abrir en ${\mathbb{R}^n}$ .

No entiendo por lo que significa para el conjunto ${U}$ que se abra en ${S}$ en lugar de estar abierto en ${\mathbb{R}^n}$ . Estoy tratando de correlacionar esto con la definición de conjunto abierto dada en Análisis Matemático por Apostol, que es que un conjunto ${A \subseteq \mathbb{R}^n}$ está abierto si ${\forall}$ ${x \in A}$ , ${\exists}$ ${\epsilon > 0}$ ${|}$ ${B_\epsilon(x) \subseteq A}$ .

¿Tiene algún sentido correlacionar ambas cosas? ¿O la apertura dentro de un conjunto es diferente de la apertura en general, y esta nueva definición debe aceptarse como un evangelio?

Answer 1

El problema general es el siguiente: Tienes un conjunto $X$ (en su caso, $\mathbb R^n$ ), y has definido una topología en ese conjunto, lo que significa esencialmente que has definido lo que significa que un conjunto sea abierto en $X$ ( $\mathbb R^n$ ). Obsérvese que una topología se define siempre sobre algún conjunto específico (una de las reglas es que el propio conjunto es siempre abierto).

Consideremos ahora un subconjunto $S$ . Quieres hacer topología en ese subconjunto, así que necesitas decir cuáles son los conjuntos abiertos en este subconjunto.

Ahora, la idea obvia sería que un conjunto está abierto en $S$ si está abierto en $X$ . Por desgracia, esto sólo funciona si $S$ resulta que está abierto en $X$ pero se quiere hacer topología también en otros subconjuntos. Por ejemplo, puede considerar una línea recta (una copia de $\mathbb R$ en $\mathbb R^n$ En efecto, en ese caso se desea que la topología sea exactamente la habitual de $\mathbb R$ Así que todos los resultados de $\mathbb R$ que sabes que siguen siendo válidos.

Pero si tomar los conjuntos abiertos tal cual no siempre funciona, ¿qué podemos hacer entonces?

Si los conjuntos abiertos no encajan, los hacemos encajar. Lo que hacemos es simplemente cortar esas partes de los conjuntos abiertos $V$ en $X$ ( $\mathbb R^n$ ) que están fuera de $S$ (eso es exactamente lo que $S \cap V$ ), y declarar los conjuntos resultantes como conjuntos abiertos de $S$ . Y resulta que esto funciona perfectamente:

• Siempre da una topología válida, sin importar el subconjunto $S$ consideramos.

• Lances abiertos en $X$ que ya resultan ser subconjuntos de $S$ siguen abiertos como subconjuntos de $S$ .

• Si $S$ resulta que está abierto en $X$ obtenemos el mismo resultado que con la primera idea.

• Si $X$ es un espacio métrico (como $\mathbb R^n$ ) con la topología definida por su métrica, entonces se obtiene la misma topología de esta manera que cuando se restringe la métrica a $S$ (haciendo $S$ un espacio métrico por derecho propio), y luego usar esa métrica para definir la topología de $S$ . Nótese que esto incluye, pero no se limita, al ejemplo de las líneas rectas en $\mathbb R^n$ .

Answer 2

Esa no es una definición "alternativa" de conjunto abierto. Es la definición del llamado topología del subespacio . Es la mejor manera de definir una topología (es decir, qué conjuntos se consideran abiertos) en $S$ que coincide con la topología de $\Bbb R^n$ .

Por ejemplo, en $S=[0,1]\subseteq \Bbb R$ (donde $\Bbb R$ tiene la topología estándar), tenemos que $[0,\frac12)$ se considera abierta, porque se puede escribir como la intersección entre $S$ y algún intervalo abierto, como $(-1,\frac12)$ . Por supuesto, algo como $(\frac13,\frac23)$ también está abierto en $S$ .

Y sí, tiene cierto sentido correlacionar ambas cosas. Un subconjunto $U\subseteq S$ es abierto si para cualquier $s\in S$ hay un $\epsilon$ tal que $B_\epsilon(s)\cap S\subseteq U$ . O podría considerar $S$ como un espacio métrico por derecho propio (con la métrica heredada de $\Bbb R^n$ ), y en ese caso sí que se puede eliminar el " ${}\cap S$ " de lo anterior (porque la interpretación de $B$ cambios), y realmente tendrá el mismo aspecto que el que tenía antes.