¿Depende el resultado de la arbitrariedad de fase en la definición de los estados propios?

Question

Imagina que tienes un hamiltoniano que es una matriz simétrica real en alguna base. Desde la teoría general sabemos que los valores propios $E_n$ son reales pero también se pueden elegir vectores propios puramente reales $|n\rangle$ . Calculo la siguiente cantidad (que no es cero):

$$\langle m | O|n\rangle + \langle n | O | m \rangle $$

para algún operador hermitiano $O$ la cantidad anterior es puramente real:

$$2\text {Re}\{\langle n | O | m \rangle\}$$

Ahora el problema que tengo es la arbitrariedad del factor de fase en la definición de los vectores propios. También puedo utilizar los estados propios con la fase por delante:

$$e^{i\varphi_{n}}|n\rangle$$

Pero entonces la cantidad cambia debido a la diferencia de factores de fase. ¿Cómo es posible? Siempre me enseñaron en un curso de mecánica cuántica que no nos importa la fase y sin embargo obtengo resultados diferentes.

Answer 1

Acaba de demostrar que la cantidad $$ \langle m|O|n\rangle+ \langle n|O|m\rangle $$ no es una cantidad observable, ni siquiera "real", ya que depende de la representación. Esto no debería molestarte; muchas cantidades de la física dependen de la representación. Por ejemplo, la "distancia al origen" no es una cantidad real en la mecánica clásica, ya que depende de dónde se ponga el eje de coordenadas; el "valor de la tensión" no es una cantidad real, ya que depende de dónde se ponga $V=0$ El "potencial vectorial" no es una cantidad real, ya que depende de su calibre, etc. Es una cantidad más que no es "real" en el mismo sentido. Puedes utilizarla en algún paso intermedio para resolver un problema físico, pero al final del problema deberías quedarte con cantidades que son "reales", es decir, que no dependen de la representación.