Crear una secuencia alternada de números positivos y negativos

Question

TL; DR -> ¿Cómo se crea una serie en la que en un $nth$ término, el número será negativo.

Estoy volviendo a aprender muchas matemáticas, sobre todo porque en Internet hay recursos maravillosos para aprender. En este viaje, me he topado con algunas secuencias muy interesantes, por ejemplo:

$$ a_n = \{ 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... \tag{1} \}$$

Y este es un ejemplo de una interesante secuencia divergente, y esta puede ser creada usando esta función:

$$f(x) = x^{n+1} \tag{2}$$

Ahora bien, esta es una secuencia que se puede crear fácilmente, ¿cómo se podría crear una serie en la que se puede tener el $-1$ aparecen en un $nth$ ¿término?

Por ejemplo:

$$ a_n = \{ 1, 1, -1, 1, 1, -1, ... \tag{3}\}$$

¿Cómo se intentaría definir la serie en $(3)$ ?

Answer 1

$a_n=\frac13-\frac23\cos\frac{2n\pi}3-\frac23\cos\frac{4n\pi}3$

Answer 2

En mi opinión, hay básicamente dos enfoques. O bien se dice simplemente $$ a_n = \begin{cases}-1 & \text{if }3|n\\\\1 & \text{otherwise}\end{cases} $$ o, si quieres una fórmula específica, la mejor manera (creo) de hacerlo sería encontrar alguna secuencia que sea impar / incluso donde quieras $-1$ e incluso / impar donde quieras $1$ , y aumentar $(-1)$ a esa potencia. Como ejemplo, la secuencia de Fibonacci $F_n$ definido por $$ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1 $$ es par en cada tercer término, lo que significa que la secuencia $$ a_n = -(-1)^{F_n} $$ sería lo que estás buscando. Sin embargo, esto se ensucia rápidamente, especialmente si quieres cambiar $F_n$ para la expresión acual. Personalmente, me decantaría por la opción superior.

Answer 3

Sé que esto puede parecer una respuesta un poco decepcionante, pero normalmente se define exactamente como se explica (y por lo tanto a trozos).

$a_n= \begin{cases} -1 & 3\mid n \\ 1 & 3\nmid n \end{cases}$

o si quiere $-1$ que aparezca cada $k$ 'th término,

$a_n= \begin{cases} -1 & k\mid n \\ 1 & k\nmid n \end{cases}$

Answer 4

¿Qué pasa con $(-1)^{n(n-1)/2}$ ?

Esto parece funcionar si la secuencia comienza en $n=0$ .