Grupo objeto en la categoría de espacios topológicos sobre un espacio fijo

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $\mathcal{C}$ sea la categoría de espacios topológicos sobre $X$ .

• Los objetos son el espacio topológico con el mapa $\pi:Y\rightarrow X$ .
• Los morfismos son mapas continuos compatibles con la $\pi$ mapas.

Estoy tratando de ver cuáles son los objetos de grupo en esta categoría.

Decir que un objeto $\pi:G\rightarrow X$ es un objeto de grupo necesito dar morfismo de multiplicación, morfismo de identidad, morfismo inverso.

Al definir el objeto de grupo, asumimos que la categoría tiene productos finitos. En esta categoría, el producto de $\pi_1: G_1\rightarrow X$ y $\pi_2:G_2\rightarrow X$ es $\eta:G_1\times_X G_2\rightarrow X$ donde $$G_1\times_X G_2=\{(g_1,g_2):\pi_1(g_1)=\pi_2(g_2)\}$$ y $\eta(g_1,g_2)=\pi_1(g_1)=\pi_2(g_2)$ .

En caso de que $G_1=G_2$ El producto es sólo $G\times G$ . Entonces, supongo que los objetos de grupo son sólo grupos topológicos con mapas continuos a $X$ .

¿Me estoy perdiendo algo? Esto no parece ser correcto.

Answer 1

El objeto terminal de $\mathbf{Top}/X$ es $\mathrm{id}_X : X \to X$ y el producto viene dado por el pullback. Con esto en mente, un objeto de grupo en $\mathbf{Top}/X$ consiste en:

• Un objeto $\pi : G \to X$ ;
• Un morfismo $e : X \to G$ tal que $\pi \circ e = \mathrm{id}_X$ ;
• Un morfismo $i : G \to G$ tal que $\pi \circ i = \pi$ ;
• Un morfismo $m : G \times_X G \to G$ tal que $\pi \circ m = \pi \times_X \pi$ ;

de manera que se cumplan los axiomas de grupo habituales.

Como sugerí en los comentarios anteriores, ayuda pensar en objetos de $\mathbf{Top}/X$ como $X$ -familias indexadas de espacios topológicos, en cuyo caso se puede pensar en $\pi,e,i,m$ como:

• Una familia $(G_x \mid x \in X)$ de los espacios topológicos;
• Una familia $(e_x \in G_x \mid x \in X)$ de elementos de los espacios;
• Una familia $(i_x : G_x \to G_x \mid x \in X)$ de mapas continuos; y
• Una familia $(m_x : G_x \times G_x \to G_x \mid x \in X)$ de mapas continuos.

Los axiomas de grupo pueden entonces interpretarse simplemente en sentido de las componentes, de modo que se puede sacar la conclusión de que un objeto de grupo en $\mathbf{Top}/X$ es un $X$ -familia de grupos topológicos.

Volviendo a la configuración "habitual", un objeto de grupo en $\mathbf{Top}/X$ es un mapa continuo $\pi : G \to X$ junto con los mapas $e,i,m$ como en el caso anterior, de manera que para cada $x \in X$ la fibra $\pi^{-1}(x)$ es un grupo topológico bajo las restricciones de $e,i,m$ a los dominios correspondientes.