Ayuda a entender la prueba de Rudin que muestra que $C_c(X)$ es denso en $L^p(\mu)$

Question

La prueba es de "Análisis Real y Complejo" de Rudin. Dice

Para $1\leq p<\infty$ , $C_c(X)$ es denso en $L^p(\mu)$

La prueba es

Dejemos que $S$ sea la clase de todas las funciones complejas, medibles y simples sobre $X$ tal que $\mu(\{x:s(x)\neq 0\})<\infty$ . Si $s\in S$ y $\epsilon<0$ existe un $g\in C_c(X)$ tal que $g(x)=s(x)$ excepto en un conjunto de medidas $<\epsilon$ y $\vert g\vert\leq\,\parallel s\,\parallel_{\infty}$ (Teorema de Lusin). Por lo tanto, $$\parallel g-s\parallel_p\leq 2\epsilon^{1/p}\parallel s\,\parallel_{\infty}$$ Desde $S$ es denso en $L^p(\mu)$ Esto completa la prueba.

Me cuesta entender las desigualdades $$\vert g\vert\leq\,\parallel s\,\parallel_{\infty}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$$$ \parallel g-s\parallel_p\leq 2\epsilon^{1/p}\parallel s\,\parallel_{\infty}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) $$ I know that the first inequality is supposed to follow from Lusin's Theorem, which in this case would result in $$ \g(x)\Nconvertirse en s(x)\Nconvertirse $$ However, I am not sure how to get to $ (1) $ from here. Lastly, I don't understand how to get inequality $ (2)$.

Añadido: Se me olvidó mencionar que $X$ se supone que es un espacio Hausdorff localmente compacto y que $\mu$ es una medida sobre un $\sigma$ -Álgebra $\mathfrak M$ en $X$ con las propiedades de la medida del Teorema de Representación de Riesz.

Answer 1

Para (1), $$ |g|\leq\sup|g(x)|\leq\sup|s(x)|=\|s\|_\infty. $$

Para (2), \begin{align} \|g-s\|_p^p&=\int_X|g-s|^p\,d\mu=\int_{g\ne s}|g-s|^p\,d\mu \leq\int_{g\ne s}(|g|+|s|)^p\,d\mu \leq\int_{g\ne s}(2\|s\|_\infty)^p\,d\mu\\ &\leq2^p\|s\|_\infty^p\,\epsilon. \end{align}