Encontrar todos los trillizos $(a,b,c)$ inferior o igual a 50, de manera que $a + b +c$ sea divisible por $a$ y $b$ y $c$ .

Question

Encontrar todos los trillizos $(a,b,c)$ menor o igual a 50, de manera que $a + b +c$ sea divisible por $a$ y $b$ y $c$ .(es decir $a|a+b+c,b|a+b+c,c|a+b+c$ ) por ejemplo $(10,20,30)$ es un buen triplete. ( $10|60 , 20|60 , 30|60$ ).

Nota: $a,b,c\leq 50$ y $a,b,c\in N$ .

De otra manera la pregunta dice que hay que encontrar todos $(a,b,c)$ tal que $lcm(a,b,c) | a+b+c$

Después de escribir diferentes situaciones, descubrí que si $gcd(a,b,c) = d$ entonces todos los tripletes tienen la forma de $(d,2d,3d)$ o $(d,d,d)$ o $(d,d,2d)$ son respuestas. (por supuesto la permutación de estas como $(2d,3d,d)$ también es una respuesta). Me da $221$ diferentes trillizos. Lo he comprobado con un simple programa Java y la respuesta es correcta pero no puedo decir por qué otras formas no son válidas. Puedo escribir otros formularios y comprobarlos uno por uno pero quiero una solución más inteligente que escribir todos los demás formularios. ¿Alguien puede ayudar?

Mi código java: (Todas las salidas están en forma de $(d,d,d)$ o $(d,2d,3d)$ o $(d,d,2d)$ y sus permutaciones).

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;

public class Main {
public static void main(String[] args) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i <= 50; i++) {
        for (int j = 1; j <= 50; j++) {
            for (int k = 1; k <= 50; k++) {
                int s = i + j + k;
                if (s % i == 0 && s % j == 0 && s % k == 0 && i != j && j != k && i != k) {
                    ArrayList<Integer> array = new ArrayList<Integer>();
                    array.clear();
                    int g = gcd(gcd(i, j), k);
                    array.add(i / g);
                    array.add(j / g);
                    array.add(k / g);
                    Collections.sort(array);
                    int condition = 4; //To find out whether it is (d,d,d) or (d,d,2d) or (d,2d,3d)
                    if (array.get(0) == 1 && array.get(1) == 1 && array.get(2) == 1) {
                        condition = 1;
                    }
                    if (array.get(0) == 1 && array.get(1) == 1 && array.get(2) == 2) {
                        condition = 2;
                    }
                    if (array.get(0) == 1 && array.get(1) == 2 && array.get(2) == 3) {
                        condition = 3;
                    }
                    System.out.printf("%d %d %d ::: Condition: %d\n", i, j, k, condition);
                    count++;
                }
            }
        }
    }
    System.out.println(count);
}

public static int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    } else
        return gcd(b, a % b);
}
}

Answer 1

Si $a\leq b\leq c$ entonces $c\mid a+b+c$ implica $c\mid a+b$ y así $a+b=cz$ para algunos $z\in\Bbb{N}$ . Entonces $$cz=a+b\leq2b\leq2c,$$ y así $z\leq2$ . Si $z=2$ entonces las desigualdades son todas igualdades y así $a=b=c$ . Entonces el triplete $(a,b,c)$ es de la forma $(d,d,d)$ .

Si $z=1$ entonces $c=a+b$ y luego $b\mid a+b+c$ implica que $b\mid 2a$ . Como $b\geq a$ se deduce que $b=a$ o $b=2a$ . Si $b=a$ entonces $c=2a$ y el triplete $(a,b,c)$ es de la forma $(d,d,2d)$ . Si $b=2a$ entonces $c=3a$ y el triplete $(a,b,c)$ es de la forma $(d,2d,3d)$ .

Esto nos permite contar el número total de trillizos con bastante facilidad;

1. El número de tripletas de la forma $(d,d,d)$ es precisamente $50$ uno por cada número entero positivo $d$ con $d\leq50$ .
2. El número de tripletas de la forma $(d,d,2d)$ es precisamente $25$ uno por cada número entero positivo $d$ con $2d\leq50$ . Cada una de estas tripletas tiene precisamente tres permutaciones distintas de sus coordenadas, lo que da un total de $3\times25=75$ trillizos.
3. El número de tripletas de la forma $(d,2d,3d)$ es precisamente $16$ uno por cada número entero positivo $d$ con $3d\leq50$ . Cada una de estas tripletas tiene precisamente seis permutaciones distintas de sus coordenadas, lo que da un total de $6\times 16=96$ trillizos.

Esto supone un total de $50+75+96=221$ trillizos.