Polinomio mínimo de $t$ en $k(t^p)$

Question

Me pregunto si lo siguiente es cierto:

El $k$ sea un campo de característica $p \not= 0$ . Entonces $t$ satisface $x^p-t^p \in k(t^p)[x]$ es irreducible.

Mi solución (insegura): Vemos $f(x)$ (mínimo polionimal de $t$ en $k(t^p)$ ) divide $x^p-t^p$ . En $k(t)$ , $f(x)=(x-t)^k$ , donde $k \le p$ . Pero si $0<k<p$ entonces $f(x) \notin k(t^p)[x]$ . Así, $x^p-t^p$ es irreducible sobre $k(t^p)[x]$ .

Answer 1

Eso depende del tipo de elemento $t$ ha terminado $k$ . Por ejemplo, si $t\in k$ entonces $x^p-t^p$ es, por supuesto, reducible. Supongo que su $t$ aquí es trascendental sobre $k$ ? En este caso, si $x^p-t^p$ es reducible, entonces se puede descomponer en $(x-t)^m(x-t)^{p-m}$ con $(x-t)^m,(x-t)^{p-m}\in k(t^p)[x]$ para algunos $1\leqslant m<p$ lo que implica que $t^m\in k(t^p)$ y esto es una contradicción (basta con considerar $t^m=\frac{f(t^p)}{g(t^p)}$ donde $f,g\in k[x]$ y encontrará los grados de $t^mg(t^p)$ y $f(t^p)$ nunca coinciden).