Aproximación de una integral con otra integral con límites finitos

Question

Me encontré con la siguiente integral en mi trabajo

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\frac{1}{(1- \ \ 2 \pi j s \theta)^{m}}-1}{2\pi j s }\ e^{-2\pi j s\sigma^2}\ ds$$

Suponiendo que $\theta,m,\sigma^2$ son números enteros no negativos pero no excesivos, y $j$ es la unidad imaginaria.

He intentado resolver numéricamente (MATLAB) sustituyendo los límites infinitos por lo siguiente $$\int_{-L}^{L} \frac{\frac{1}{(1-\ \ 2 \pi j s \theta)^{m}}-1}{2\pi j s }\ e^{-2\pi j s\sigma^2}\ ds$$

Me parece que hay un punto de singularidad en $s=0$ pero la integral sigue existiendo aunque haya un punto de singularidad.

Hay que hacer algunos trucos en MATLAB y lo que hice es, dividir la integral en dos partes en el punto de singularidad y tomar el límite sobre ese espacio para que sea casi cero.

Mi pregunta es cuál sería la mejor elección del límite finito $L$ ? en otras palabras, ¿cómo se puede aproximar el error de usar la aproximación? Me gustaría tener los mejores límites y no tener $-\infty$ a $+\infty$ porque eso llevaría mucho tiempo.

Se agradece cualquier idea.

Answer 1

En la página conjunta, se muestra que el resultado, en caso de $m>0$ y $\frac{\sigma^2}{\theta}>0$ es: $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\frac{1}{(1- \ \ 2 \pi j s \theta)^{m}}-1}{2\pi j s }\ e^{-2\pi j s\sigma^2}\ ds = \frac{\Gamma(m\:,\:\frac{\sigma^2}{\theta})}{\Gamma(m)}$$ El método consiste en el cambio de variables que conducen a dos transformadas de Fourier conocidas.