Media de la parte fraccionaria de $\log n$

Question

Dejemos que $\{x\}$ sea la parte fraccionaria de $x.$ ¿Podemos demostrar que

$$\lim_{N\to \infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N~\{\log n\}= _{\pm}\Omega(1/2)? $$

En caso de que mi uso no sea estándar, me refiero a que el l.h.s. es infinitamente a menudo menor y mayor que 1/2.

Advertencia: no estoy seguro de que sea cierto porque no he hecho ningún avance para demostrarlo.

(Veo que alguien ha hecho una pregunta similar sobre log n. Esto no es exactamente lo mismo así que lo estoy publicando).

Answer 1

Para cualquier $x$ , dejemos que $\lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z}$ y $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor \in [0,1)$ sea la parte entera y fraccionaria de $x$ .
Para cualquier $x > 1$ la función $\{\log x\}$ es discontinuo en $e, e^2, e^3, \ldots$ . Desde $e$ es trascendental, este conjunto de números es disjunto con $\mathbb{Z}$ el conjunto de discontinuidades de la función $\lfloor x \rfloor$ . Utilizando este hecho, la media en cuestión puede reescribirse como Integral de Riemann Stieltjes e integrar por parte sin ningún problema.

Para cualquier $N > 2$ , escriba $\log N$ como $n + s$ donde $n = \lfloor\log N\rfloor$ y $s \in (0,1)$ . Tenemos

$$\begin{align} \sum_{k=1}^N \{\log k\} &= \sum_{k=2}^N \{\log k\} = \int_{1+}^{N+}\{\log x\} d\lfloor x \rfloor = \bigg[\{\log x\}\lfloor x \rfloor\bigg]_{1+}^{N+} - \int_{0+}^{n+s+} \lfloor e^y \rfloor d\{y\}\\ &= Ns -\underbrace{\int_{0+}^{n+s+} e^y d\{y\}}_I + \underbrace{\int_{0+}^{n+s+} \{ e^y \} d\{y\}}_J\tag{*1} \end{align} $$ Para el $2^{nd}$ término, tenemos

$$\begin{align}I &= \int_{0+}^{n+s+} e^y d( y - \lfloor y \rfloor ) = \int_0^{n+s} e^y dy - \sum_{k=1}^n e^k\\ &= e^{n+s} - 1 - \frac{e}{e-1}(e^n-1) = N\left( 1 - \frac{e^{1-s}}{e-1}\right) + \frac{1}{e-1} \end{align}\tag{*2}$$ Para el $3^{th}$ término, tenemos

$$J = \int_{n}^{n+s} \{e^y\} dy + \sum_{k=0}^{n-1}\int_{k+}^{k+1+} \{e^y\} d\{y\} = \int_{n}^{n+s} \{e^y\} dy + \sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1 \left( \{ e^{k+y} \} - \{ e^{k+1} \}\right) dy$$ Observe la magnitud de todos los $n+1$ integradas en la expresión anterior está limitada desde arriba por $1$ . Obtenemos la siguiente cota de $J$ .

$$|J| \le \int_n^{n+s} dy + \sum_{k=0}^{n-1}\int_0^1 dy = n + s = \log N\tag{*3}$$

Sustituir $(*2)$ y $(*3)$ en $(*1)$ obtenemos

$$\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N \{\log k\} = f(\{\log N\}) + \epsilon_N \quad\text{ where }\quad f(s) = \frac{e^{1-s}}{e-1} + s - 1$$ y el término de error $\epsilon_N$ satisface $$|\epsilon_N| \le \frac1N \left(\log N + \frac{1}{e-1}\right)$$ De esto, podemos concluir que la media en cuestión oscila como $f(\{\log N\})$ como $N \to \infty$ .

Desde $$f([0,1]) = \left[\log\frac{e}{e-1}, \frac{1}{e-1}\right] \approx [\;0.458675, 0.5819767\;]$$ la media oscilará entre $0.458675$ y $0.5819767$ y, por tanto, por debajo/por encima de $\frac12$ infinitamente a menudo.

Al final hay una imagen que representa la media frente a la aproximación $f(\{\log N\})$ . Muestra claramente que la media es aproximadamente la siguiente $f(\{\log N\})$ incluso para $N$ tan pequeño como $20$ .

Answer 2

Dejemos que $k$ sea un número entero no negativo y que $0<\delta<1$ . Tenga en cuenta que $$\sum_{e^k\le n<e^{k+\delta}} \{\log n\} = \sum_{e^k\le n<e^{k+\delta}} (\log n - k)$$ es una suma de Riemann para $$(e^{k+\delta}-e^k) \int_{e^k}^{e^{k+\delta}} (\log t - k)\,dt.$$ En efecto, como el integrando es creciente, la diferencia entre la suma de Riemann y la propia integral está acotada por la diferencia entre puntos de muestra consecutivos (que es $1$ aquí) y el cambio en el integrando de un punto final al otro (que es $\delta<1$ aquí). Además, el valor de la integral es $$ \int_{e^k}^{e^{k+\delta}} (\log t - k)\,dt = \big( t\log t - (k+1)t \big) \bigg|_{e^k}^{e^{k+\delta}} = $$ argh se me acabó el tiempo, ¿alguien quiere terminar?