derivación de $\theta(x)=\int_{a}^{x}\varphi (y)dy - (\int_{a}^{b}\varphi(y)dy)\psi(x)$ y la estimación de la norma °L^2$

Question

Dejemos que $I=(a,b)$ , $u\in L^2(I)$ y $\psi\in C^{\infty}(I)$ tal que $\psi=0$ en $(a,a+\epsilon)$ y $\psi=1$ en $(b-\epsilon , b)$ para un número suficiente de $\epsilon$ . Dejemos que $\varphi\in C_C^\infty (I)$ y considerar la función $\theta(x)=\int_{a}^{x}\varphi (y)dy - (\int_{a}^{b}\varphi(y)dy)\psi(x)$ , $\theta$ pertenece a $C^\infty_C(I) $ . Mis preguntas son: 1. ¿Por qué es $\theta'=\varphi$ y 2. ¿hay una $C>0$ tal que $\|\theta \|_{L^2}\le C\|\varphi \|_{L^2}$ ?

Sé que $\theta'(x)=\varphi(x)-(\int_{a}^{b}\varphi(y)dy)\psi'(x)$ pero ¿por qué debería $(\int_{a}^{b}\varphi(y)dy)\psi'(x)$ ¿es cero?

Answer 1

1. No lo es, el derivado de $\theta$ realmente tiene esos dos términos

2. No. En realidad no hay ninguna razón para que $\theta$ debería ser integrable al cuadrado, dada su dependencia de $\psi.$ Pero incluso si lo es, entonces su norma cuadrática está estrictamente influenciada por la elección de $\psi.$ Sin embargo, si $\psi$ es fija e integrable al cuadrado y sólo variamos $\varphi$ entonces

\begin{eqnarray} \|\theta\|_2&\leq&\|\varphi\|_1+\|\varphi\|_1\|\psi\|_2 \\ &\leq&\|\varphi\|_2\sqrt{b-a}(1 +\|\psi\|_2)\\ \end{eqnarray}