$\|u\|\leq \|u+av\| \Longrightarrow \langle u,v\rangle=0$

Question

Demostrar que $\langle u,v\rangle=0\Longleftrightarrow \|u\|\leq \|u+av\|$ .

Hasta ahora puedo conseguir el $\Longrightarrow$ muy fácilmente, pero necesito ayuda con el $\Longleftarrow$ implicación, cualquier pista sería muy apreciada. Por favor, nada de respuestas, sólo quiero un pequeño empujón que me lleve en la dirección correcta, he estado perplejo en esto durante un tiempo. Esto es lo que tengo hasta ahora:

( $\Longleftarrow$ )

Supongamos que $\|u\| \leq \|u+av\|$

$\|u+av\|^2=\langle u+av,u+av\rangle=\langle u,u\rangle+ \langle u,av\rangle+\langle av,u\rangle+\langle v,v\rangle=\|u\|^2+\bar{a} \langle u,v\rangle+a\langle v,u\rangle+\|v\|^2=\|u\|^2+ \bar{a}\bar{\langle v,u\rangle}+a\langle v,u\rangle+\|v\|^2$

¿Pensamientos/ideas?

Answer 1

Suponiendo que se refiera a que la desigualdad se mantiene para todos los $a$ tenemos $$ \|u\|^2\le\|u+av\|^2\tag{1} $$ Dejemos que $a=t\langle u,v\rangle$ para $t\in\mathbb{R}$ entonces $(1)$ implica $$ \begin{align} \langle u,u\rangle &\le\langle u+av,u+av\rangle\\ &=\langle u,u\rangle+2\mathrm{Re}\left(a\,\overline{\langle u,v\rangle}\right)+|a|^2\langle v,v\rangle\\ &=\langle u,u\rangle+2t\left|\langle u,v\rangle\right|^2+t^2\left|\langle u,v\rangle\right|^2\langle v,v\rangle\\ 0&\le\left(2t+t^2\langle v,v\rangle\right)\left|\langle u,v\rangle\right|^2 \end{align} $$

Dado que el lado derecho es $0$ cuando $t=0$ y el lado derecho debe ser siempre mayor o igual a $0$ la derivada en $t=0$ debe ser $0$ . Es decir, $$ \langle u,v\rangle=0 $$