Obtener un número real a partir de un número complejo

Question

Estoy tratando de programar una fórmula para decir cuán lleno está un cilindro horizontal con líquido. Aquí está la fórmula que estoy utilizando con las variables de las mediciones que tomé:

Cuando utilizo Wolframalpha para resolver esto, acabo obteniendo un número complejo y, francamente, no sé muy bien qué hacer con él( enlace aquí ). Necesito un número real en pulgadas cúbicas o galones para obtener mis objetivos finales.

¿Puede alguien ayudarme a entender por qué recibo un número complejo y cómo puedo obtener un número real? ¿Una fórmula diferente tal vez? Este El sitio web hace los cálculos que quiero, pero no tengo ni idea de cómo lo hace.

Answer 1

Obviamente, el volumen es la longitud por el área de la sección transversal, por lo que sólo tenemos que determinar cuál será esa área.

Para $h<r$ (como en el ejemplo particular), estás viendo el área de un sector circular con ángulo $\theta\in(0,\pi)$ tal que $\cos\frac{\theta}{2}=\frac{r-h}{r}$ --así que dado el signo, tenemos $$\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}=\frac{r-h}{r}$$ como ecuación determinante, menos el área del triángulo formado por 2 radios y la cuerda de ese sector circular. El área del triángulo será $$\frac{1}{2}r^2\sin\theta,$$ y el área del sector será $$\frac{1}{2}r^2\theta,$$ por lo que sólo tenemos que determinar $\theta$ y $\sin\theta$ en términos de $r$ y $h$ .

$1+\cos\theta=\frac{2(r-h)^2}{r^2}$ Así que $\cos\theta=\frac{2r^2-4rh+2h^2}{r^2}-1=\frac{r^2-4rh+2h^2}{r^2}$ y así $$\theta=\arccos\left(\frac{r^2-4rh+2h^2}{r^2}\right).$$ Utilizando la identidad pitagórica y el hecho de que $\sin\theta$ es positivo para $\theta\in(0,\pi)$ También encontramos que $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$ que, simplificando, nos da $$\sin\theta=\frac{2\sqrt{2rh-h^2}(r-h)}{r^2}.$$

Así, nuestro volumen será $$\frac{1}{2}Lr^2\arccos\left(\frac{r^2-4rh+2h^2}{r^2}\right)-L\sqrt{2rh-h^2}(r-h).$$

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Si quiere extender su respuesta a los otros casos, entonces obviamente, cuando $r=h$ tenemos $\frac{1}{2}L\pi r^2$ como el volumen. Cuando $r<h\leq 2r$ tomaremos todo el volumen del tubo y le restaremos un volumen similar al que teníamos en el primer caso, con la única excepción de que cambiaremos $h$ y $r$ en un término, por lo que el volumen será $$L\pi r^2-\frac{1}{2}Lr^2\arccos\left(\frac{r^2-4rh+2h^2}{r^2}\right)+L\sqrt{2rh-h^2}(h-r).$$

Answer 2

Como comentan Thomas y Ross, los valores que estás poniendo en la función coseno inversa no están en el intervalo $[-1,1]$ Así que vas a obtener respuestas complejas con tu fórmula.

Esta es una de las formas en que yo derivaría la fórmula corregida:

Considere un tanque de agua cilíndrico (inclinado sobre su lado) con longitud $L$ , radio $r$ , lleno de agua hasta una altura $h$ como se muestra en el enlace que has proporcionado.

Para hallar el volumen del agua, querremos integrar el área de las secciones transversales horizontales a lo largo de un eje vertical. Para simplificar, vamos a establecer un eje vertical $y$ -con el 0 situado en el centro del círculo en el extremo del tanque. Entonces las secciones transversales horizontales del tanque parecen rectángulos con longitud $L$ y una anchura que podemos llamar $w$ . Puedes ver (más o menos) cómo es esto en este diagrama mal dibujado:

Ahora, utilizando el Teorema de Pitágoras, encontramos que a cierta altura $y$ tenemos la anchura $w = 2\sqrt{r^2-y^2}$ por lo que el área de la sección transversal del tanque a la altura $y$ viene dada por $A = 2L\sqrt{r^2-y^2}$ . Ahora bien, si integramos esto con respecto a $y$ en el intervalo $[-r,h]$ deberíamos conseguir que el volumen llegue a la altura $h$ . Obtenemos la integral $$ V = \int_{-r}^h 2L\sqrt{r^2-y^2} dy . $$ Podemos evaluar esto utilizando la sustitución trigonométrica $y = r\sin \theta$ . Haciendo esta sustitución, obtenemos \begin{align*} V &= \int_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(h/r)} 2L r\cos \theta \cdot r \cos \theta d\theta \\ &= 2L r^2 \int_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(h/r)} \cos^2 \theta d\theta \\ &= 2L r^2 \int_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(h/r)} \left( \frac 12 + \frac 12 \cos(2 \theta) \right) d\theta \\ &= 2L r^2 \left( \frac \theta 2 + \frac 14 \sin 2\theta \right) \bigg|_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(h/r)} \\ &= L r^2 (\theta + \sin \theta \cos \theta ) \bigg|_{-\pi/2}^{\sin^{-1}(h/r)} \\ &= L r^2 \left( \sin^{-1} \left( \frac hr \right) + \frac \pi 2 - \frac hr \sqrt{r^2-h^2} \right) \\ &= L r^2 \sin^{-1} \left( \frac hr \right) + \frac \pi 2 L r^2 - Lrh \sqrt{r^2-h^2} . \end{align*}