Prueba de que la ecuación es resoluble en un grupo abeliano

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano, $a \in G$ sea un elemento de orden finito, $(\text{ord} \, a, n) = 1$ . Demostrar que la ecuación $x^n = a$ es soluble en el grupo $G$ .

He intentado aplicar un corolario del teorema de Lagrange, pero me preocupa que el grupo pueda ser de orden infinito, y no sé qué hacer con él

Answer 1

Dejar $m= \text{ord}(a)$ . y elegir $k$ tal que $k$ es congruente con la inversa de $n\pmod m$ . Por lo tanto, podemos escribir $kn$ como $dm+1$ .

Observe que $(a^k)^n = a^{kn}=a^{dm+1} = a^{dm}\cdot a = e\cdot a = a.$

Answer 2

Si ponemos $m=\textrm{ord}(a)$ entonces $\textrm{gcd}(m,n)=1$ . Esto da que hay enteros $t$ y $s$ tal que $tm+sn=1$ . Ahora, $a= a^1=a^{tm+sn}=(a^m)^t\cdot (a^s)^n$
$=e_G^t\cdot (a^s)^n=(a^s)^n$ .
Por lo tanto, $a^s$ es una solución.