Secuencia aleatoria que converge a cero con índices aleatorios

Question

Necesito una opinión para esto. La secuencia aleatoria $X_{2^n + y_n}(\omega) \rightarrow 0$ a.s. para cualquier no-estocástico $y_n \in \{0,1,...,2^n\}$ . Se puede concluir que $X_{2^n + Y_n(\omega)}(\omega) \rightarrow 0$ a.s. para alguna variable aleatoria $Y_n(\omega) \in \{0,1,...,2^n\}$ ?

R. Simmons

Answer 1

Por lo que respecta a la arbitrariedad $Y_n$ s, no. Deja que $Z$ ser uniforme en $[0,1)$ y que $$ X_{2^n+y}:=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \frac{y}{2^n} \le Z < \frac{y+1}{2^n},\\ 0, & \text{otherwise,} \end{array}\right. $$ donde $$ n=0, 1, 2, \dots, \qquad y=0, \dots, 2^n-1. $$ Entonces, para cualquier secuencia determinista de no negativos $y_n$ s, la probabilidad de que $X_{2^n+y_n}$ es distinto de cero para cualquier $n\ge N$ es como máximo $$ 2^{-N} + 2^{-(N+1)} + \cdots = 2^{-(N-1)}, $$ así que $X_{2^n+y_n}\to 0$ a.s. Sin embargo, si $$ Y_n:=\lfloor 2^n Z \rfloor, \qquad n=0, 1, 2, \dots $$ entonces cada $X_{2^n+Y_n}$ es idéntico $1$ Así que $X_{2^n+Y_n}$ no converge a $0$ a.s.

Sobre el comentario de abajo, que $\cal Y$ sea el conjunto de todas las secuencias ${\bf y}=(y_n)$ y que $\Omega$ sea el espacio de estados. Entonces, para cualquier secuencia dada ${\bf y}=(y_n)$ podemos encontrar un conjunto $\Omega_{\bf y}\subseteq \Omega$ con ${\Bbb P}(\Omega_{\bf y})=1$ tal que $X_{2^n+y_n}\to 0$ en todas partes en $\Omega_{\bf y}$ . Sin embargo, no podemos establecer $$ {\bar \Omega}:=\bigcap_{{\bf y}\in\cal Y} \Omega_{\bf y} $$ para obtener un conjunto único $\bar \Omega$ con ${\Bbb P}(\bar \Omega)=1$ en el que todo converge, porque hay incontables ${\bf y}$ s. De hecho, si identificamos el espacio de estados con $[0,1)$ entonces para cualquier $r\in [0,1)$ , $$r\notin \Omega_{\bf y}, \qquad \text{ where } {\bf y}=(y_n),\qquad y_n=\lfloor r 2^n \rfloor \text { for all } n\ge 0.$$ Por lo tanto, $${\bar \Omega}=\bigcap_{{\bf y}\in\cal Y} \Omega_{\bf y}=\emptyset.$$