¿Hay alguna forma gráfica de entender (intuitivamente) la desigualdad del triángulo invertido en el $\ell^p$ ¿espacios?

Question

Dado $(\eta_i), (\xi_i) \in \ell^p$ para algunos $p \geq 1$ en $\mathbb{R}$ ¿hay un gráficamente manera de ver la desigualdad $$\left|(\sum_{i=1}^{\infty}|\eta_i|^p)^{1/p} - (\sum_{i=1}^{\infty}|\xi_i|^p)^{1/p}\right| \leq (\sum_{j=1}^{\infty}|\xi_i-\eta_i|^p)^{1/p}\:\:?$$

Answer 1

¿Desigualdad de triángulos?
Sí, es cierto, $$\big|\|y\| - \|x\| \big| \le \|x-y\|$$ en cualquier espacio normado. Esto se deduce de la desigualdad triangular habitual.

Prueba.
Primero, $(y) + (x-y) = x$ Así que $$ \|y\| + \|x-y\| \le \|x\| \tag1$$ Siguiente, $x + (y-x) = x$ Así que $$ \|x\| + \|y-x\| \le \|y\| \tag2$$

Ahora desde $(1)$ obtenemos $$ \|x\|-\|y\| \le \|x-y\| $$ y de $(2)$ obtenemos $$ \|y\| - \|x\| \le \|y-x\| \\ -\big(\|x\|-\|y\|\big)) \le \|x-y\| $$ Pero desde $$ \|x\|-\|y\| \le \|x-y\| \le \|x-y\|\quad\text{and}\quad -\big(\|x\|-\|y\|\big) \le \|x-y\| $$ concluimos $$ \big|\|x\|-\|y\|\big| \le \|x-y\| $$