¿Cómo puedo ver que tenemos $\Lambda_a=s\Lambda_a\mathbin{\dot\cup} \big(s\Lambda_a+(1+s)\big)\mathbin{\dot\cup}s\Lambda_b$ (Sustitución de la media de plata)

Question

Considere la sustitución (media de plata) $$\varrho:\begin{aligned}&a\mapsto aba\\&b\mapsto a\end{aligned}.$$ Si tomamos $w^{(1)}=a|a$ y $w^{i+1}=\varrho(w^{(i)})$ entonces obtenemos..: $$a|a\overset\varrho\longmapsto aba|aba\overset\varrho\longmapsto\ldots\overset\varrho\longmapsto w^{(i)}\overset{i\to \infty}\longmapsto w= \varrho(w),$$ donde $w$ es una secuencia bi-infinita.

Mediante algo llamado regla de inflación geométrica, representamos $a$ por un intervalo de longitud $1+\sqrt 2$ y $b$ por un intervalo de longitud $1$ . Esto nos permite interpretar $w$ como una partición de la recta de los números reales en intervalos de longitud $1+\sqrt 2$ y $1$ donde identificamos el punto de referencia de $w$ con $0$ .

Ahora los conjuntos de puntos $\Lambda_a$ y $\Lambda _b$ son los puntos extremos izquierdos de los intervalos de tipo $a$ y $b$ respectivamente. Ahora deberíamos tener $$\Lambda_a=s\Lambda_a\mathbin{\dot\cup} \big(s\Lambda_a+(1+s)\big)\mathbin{\dot\cup}s\Lambda_b,\label{moi}\tag{*}$$ donde $s=1+\sqrt2$ y $\mathbin{\dot\cup}$ es el operador de unión disjunta.

Pregunta : No puedo averiguar cómo derivar esto. Sospecho que el lado derecho de \eqref{moi} es una descripción de los puntos extremos izquierdos de $\varrho(w)$ en términos de $\Lambda_a$ y $\Lambda_b$ de alguna manera. Sólo que no puedo ver cómo exactamente.

N.B. Esta ecuación y toda la terminología provienen del libro Orden aperiódico por Baake y Grimm.

Answer 1

La sustitución sustituye cada $a$ intervalo, de longitud $s$ con dos $a$ intervalos y un $b$ intervalo, de longitud total $2s+1=3+2\sqrt2=s^2$ . También sustituye cada $b$ intervalo, de longitud $1$ , con un $a$ intervalo, de longitud $s$ . Así, multiplica la longitud total del intervalo por $s$ . De hecho, envía cualquier $x\in\Lambda_a\cup\Lambda_b$ a $sx$ añadiendo dos nuevos puntos finales entre $sx$ y $sx+s^2$ siempre que $x\in\Lambda_a$ . Uno de ellos es $sx+s\in\Lambda_b$ y el otro es $sx+s+1\in\Lambda_a$ .

El término $s\Lambda_a$ cuentas para los "antiguos" miembros de $\Lambda_a$ : cada uno $x\in\Lambda_a$ se envía a $sx\in\Lambda_a$ . El término $s\Lambda_b$ cuentas para el $a$ intervalos derivados de $b$ intervalos: cada uno $x\in\Lambda_b$ se envía a $sx\in\Lambda_a$ . Claramente $\Lambda_a\cap\Lambda_b=\varnothing$ Así que $s\Lambda_a\cap s\Lambda_b=\varnothing$ también.

El plazo restante, $s\Lambda_a+(1+s)$ debe dar cuenta de los "nuevos" miembros de $\Lambda_a$ que se rellenan cuando un $a$ se amplía a un intervalo $a$ , a $b$ y otro $a$ intervalo, y de hecho lo hace: vimos anteriormente que cuando $x\in\Lambda_a$ la expansión no sólo envía $x$ a $sx$ pero también añade un punto final $sx+(1+s)\in\Lambda_a$ . Por último, está claro por la construcción que $s\Lambda_a+(1+s)$ es disjunta de $s\Lambda_a\cup s\Lambda_b$ . Alternativamente, podemos observar que $x$ y $x+s$ son puntos finales consecutivos, y se envían a $sx$ y $sx+s^2=sx+1+2s$ Así que $sx$ y $sx+1+2s$ son puntos finales "antiguos" consecutivos. Dado que $sx+(1+s)$ está estrictamente entre ellos, no puede ser un punto final "antiguo", es decir, no puede pertenecer a $s\Lambda_a\cup s\Lambda_b$ .