Comprueba mi prueba de que $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$

Question

La siguiente pregunta es un problema de Pinter Álgebra abstracta . Y para poner las cosas en contexto: $G$ es un grupo y $a, b$ son elementos de $G$ .

Quiero mostrar $(ab)^{-1}$ = $b^{-1}a^{-1}$ .

Originalmente pensé en probar el hecho de la siguiente manera: \begin{align*} (ab)^{-1}(ab) &= e \newline (ab)^{-1}(ab)(b^{-1}) &= (e)(b^{-1}) \newline (ab)^{-1}(a)(bb^{-1}) &= (b^{-1}) \newline (ab)^{-1}(a)(e) &= (b^{-1}) \newline (ab)^{-1}(a) &= (b^{-1}) \newline (ab)^{-1}(a)(a^{-1}) &= (b^{-1})(a^{-1}) \newline (ab)^{-1}(e) &= (b^{-1})(a^{-1}) \newline (ab)^{-1} &= (b^{-1})(a^{-1}) \newline \end{align*}

Sé que esto puede parecer extremadamente ineficiente para la mayoría, y sé que hay una manera más corta. Pero, ¿se consideraría esto una prueba legítima?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tu camino está absolutamente bien. Como usted señala, hay de hecho una manera más fácil. Bastaría con demostrar que el elemento $c$ tal que $(ab)c = e$ es de hecho $c = b^{-1} a^{-1}$ :

$$\begin{align} (ab)b^{-1} a^{-1} &= a (b b^{-1}) a^{-1} \\ &= a e a^{-1} \\ &= a a^{-1} \\ &= e. \end{align}$$

Answer 2

Estas preguntas se hacen normalmente yendo directamente a la definición. Así, para el elemento $ab$ buscamos el elemento $x$ s.t. $abx = xab = e$ . Claro, sabemos que tal elemento es único (si no es así, demuéstralo también).

Así que hagámoslo. $ab b^{-1} a^{-1} = a (b b ^{-1}) a^{-1} = a e a^{-1} = a a^{-1} = e$ . Esa es una dirección.

$b^{-1}a^{-1} * ab = b^{-1} (a^{-1}a) b = b^{-1}b = e$

En cuanto a su método de arriba - se ve muy bien. Bien hecho.

Answer 3

La definición de inversa es a*a-1 = I (es decir, un inverso operado con a debe dar un elemento de identidad) a-1*a = I (es decir, un inverso operado con a también debe dar un elemento de identidad)

así que aquí

$(AB) B^{-1} A^{-1} = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$

$B^{-1} A^{-1} (AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1} I B = B^{-1}B = I$

Aquí cuando $B^{-1}A^{-1}$ Operado a AB en ambos lados y en ambos casos dado I (Matriz de identidad ).

$X Z = I$ significa que $Z$ es la inversa de $X$ Del mismo modo Si $ABB^{-1}A^{-1}$ es dar el elemento de identidad entonces $B^{-1} A^{-1}$ es la inversa de $AB$ .

Answer 4

Para una demostración directa utilizando sistemáticamente la propiedad asociativa y el hecho de que $x = xe = xyy^{-1}$ para todos $y\in G$ proceda de la siguiente manera. \begin{align} (ab)^{-1} = & (ab)^{-1}e \\ = & (ab)^{-1}[aa^{-1}] \\ = & (ab)^{-1}\big[(ae)a^{-1}\big] \\ = & (ab)^{-1}\Big[\big(a[bb^{-1}]\big)a^{-1}\Big] \\ = & (ab)^{-1}\Big[([ab]b^{-1})a^{-1}\Big] \\ = & (ab)^{-1}\Big[[ab]\big(b^{-1}a^{-1}\big)\Big] \\ = & \Big[(ab)^{-1}[ab]\Big]\big(b^{-1}a^{-1}\big) \\ = & e\big(b^{-1}a^{-1}\big) \\ = & b^{-1}a^{-1} \end{align}

Answer 5

Considere un sistema de ecuaciones lineales $Cx =b$ .

Dejemos que $C = AB$ .

$\therefore$ $ABx = b$ .............................................................................................................................(1)

Si existe la inversa, $x = C^{-1}b$

$\therefore$ $x=(AB)^{-1}b$ ......................................................................................................................(2)

Ahora, multiplique la ecuación (1) por $(A)^{-1}$ ,

$\therefore$ $A^{-1}ABx$ = $A^{-1}b$

$\therefore$ $Bx$ = $A^{-1}b$ ...........................................................................................................................(3)

Ahora, multiplique la ecuación (3) por $(B)^{-1}$ ,

$\therefore$ $B^{-1}Bx$ = $B^{-1}A^{-1}b$

$\therefore$ $x = B^{-1}A^{-1}b$ ......................................................................................................................(4)

Comparando (2) y (4),

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.$