Lo pensé durante mucho tiempo, pero no puedo subir de algunas buenas ideas. Creo que conjunto vacío no tiene elementos, cómo se utiliza la definición de un abierto para demostrar la Proposición. La definición de un sistema abierto: un conjunto S en el espacio n-dimensional se llama abierto si todos sus puntos son puntos interiores.
Respuestas
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Hagen von Eitzen
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John Gallagher
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He aquí otro punto de vista:
Supongamos que el conjunto vacío es que no se considera abierto.
Considerar el seno de la función $\sin\colon \Bbb R \a \Bbb R$.
Entonces $(3\,.\,.\,4)$ es abierto (es de suponer), pero $\sin^{-1}(3\,.\,.\,4)=\varnothing$ no está abierto, por lo que el seno de la función no es continua.
No queremos eso!
Otra cosa: una de las propiedades clave de abrir establece es que la intersección de dos abiertos es abierta. Si el conjunto vacío que no fueron consideradas en abrir, luego de que no se deterioren.
Shashwat
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Mi respuesta tendría nada que se compare con @HagenvonEitzen del ingenio y el punto, pero aquí es una manera de pensar en ella:
El complemento de un conjunto vacío es el conjunto, que, por supuesto, contiene de todo, incluyendo todos los límites de puntos. Por lo tanto el conjunto es cerrado, y por lo tanto es un cumplido, un conjunto vacío está abierto.
Hagen argumento puede ser hecho para mostrar el conjunto vacío está cerrado y todo el conjunto es abierto. Porque todos los puntos en vacío conjuntos de límite de puntos, de modo conjunto vacío está cerrado. Por lo que su elogio, todo el conjunto es abierto.
Otra (mejor) manera de pensar en esto:
Un espacio topológico generaliza el concepto de un espacio métrico. Con este punto de vista, una función es continua si la imagen inversa de un conjunto abierto es abierto. Puesto que una función que se asigna todo el espacio en un solo punto es siempre continuo, el conjunto vacío está abierto. Tomar un conjunto abierto que no contiene el punto único. Su inversa de la imagen es el conjunto vacío.
De arriba es una prueba para la definición, sin embargo, el conjunto vacío está abierto por la definición de una topología. Pero es bueno saber por qué las cosas se definen de la manera que son.
Una nota final: debe ser "el" conjunto vacío, ya que es único.
Gert
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De hecho, todos los puntos del conjunto vacío son puntos interiores.
Esta es una declaración que '' vacuously verdadera".
En otras palabras: si se produce un elemento del conjunto vacío, estará encantado de mostrar que es un punto interior. Esto se puede hacer porque en primer lugar no puede producir uno. Comparar a afirmación de Russel en un relato apócrifo, "dada una proposición contraria, puedo probar cualquier statement"(paraphrased).
Ming Ho
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