Descomposiciones Iwahori versus Bruhat

Question

Me encuentro con la siguiente cuestión que no entiendo pero que parece contradictoria, procedente del libro de Roberts y Schmidt sobre $GSp(4)$ . Consideremos un campo local no arquimédico $F$ , dejemos que $p$ sea su ideal máximo, $\mathcal{O}$ su anillo de enteros y $G=GSp(4, F)$ . Nos interesa el siguiente subgrupo de congruencia de Klingen $$K = \left( \begin{array}{cccc} \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ p & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ p & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ p & p & p & \mathcal{O} \end{array} \right) $$

(a partir de ahora todos los subgrupos escritos en esta forma de matriz-entrada se entiende su intersección con $GSp(4, F)$ . Me interesa calcular el índice de este subgrupo en el subgrupo compacto máximo $K_0$ (donde todas las entradas son números enteros).

Descomposición Iwahori Tenemos $$ K = \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ p & 1 & & \\ p & & 1 & \\ p & p & p & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} \mathcal{O}^\times & & & \\ & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \\ & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \\ & & & \mathcal{O}^\times \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ & 1 & & \mathcal{O} \\ & & 1 & \mathcal{O} \\ & & & 1 \end{array} \right) $$

por lo que, en particular, al descomponer el subgrupo de la izquierda deberíamos obtener $$ \left( \begin{array}{cccc} \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \end{array} \right) = \bigsqcup_{a, b, c \in \mathcal{O}/p} \left( \begin{array}{cccc} 1 & & & \\ a & 1 & & \\ b & & 1 & \\ c & b & -a & 1 \end{array} \right) K $$

(donde el hecho de que las entradas de la derecha sean así proviene de las condiciones de pertenencia a $GSp(4)$ ). Así que en particular el índice debe ser, escribiendo $N(p)$ para la norma de $p$ ,

$$[K_0:K] =N(p)^3$$

Descomposición de Bruhat Por otro lado, introduciendo el subgrupo $$ Q = \left( \begin{array}{cccc} \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ & \mathcal{O} & \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ & & & \mathcal{O} \end{array} \right) $$

la descomposición de Bruhat da como resultado que para cualquier campo $k$ , $$ GSp(4, k) = Q \sqcup Qx \left( \begin{array}{cccc} 1 & k & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & k \\ & & & 1 \end{array} \right) \sqcup Qxy \left( \begin{array}{cccc} 1 & & k & \\ & 1 & k & k \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{array} \right) \sqcup Qxyx \left( \begin{array}{cccc} 1 & k & k & k\\ & 1 & & k\\ & & 1 & k \\ & & & 1 \end{array} \right) $$

donde las transformaciones $x$ y $y$ se definen por $$x= \left( \begin{array}{cccc} & 1& & \\ 1 & & & \\ & & & 1 \\ & &1 & \end{array} \right) $$ $$y = \left( \begin{array}{cccc} 1 & & &\\ & & 1 & \\ & -1 & & \\ & & & 1 \end{array} \right) $$

En particular, si $k$ es el campo finito con $N(p)$ elementos, el índice que buscamos es exactamente la cardinalidad de $GSp(4,k) / Q$ , y este es $(1+N(p))(1+N(p)^2)$ para que digamos

$$[K_0:K] =(1+N(p))(1+N(p)^2)$$

Esta es la pregunta que se desprende de este debate:

Ambos resultados son diferentes, ¿qué está está ocurriendo?

Answer 1

Tu cálculo de la descomposición Iwahori es un poco demasiado libre con los cálculos del cociente. Funcionaría bien para los espacios vectoriales, que es, en cierto sentido, la razón por la que obtienes el término principal correcto en tu recuento; pero hay sutilezas adicionales en el nivel de grupo que no tiene en cuenta -entre otras cosas, que algunas de las entradas denotadas por $\mathcal O$ puede ser $0$ Pero algunos no pueden.

El mismo cálculo sugeriría que el cociente de $\operatorname{GL}_2(k)$ por su subgrupo de Borel de matrices triangulares superiores debe tener como representantes del coset las matrices uni-triangulares inferiores $u_-(c) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{pmatrix}$ mientras que en realidad existe otro coset, el que contiene $w_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ . En realidad, una mejor manera de pensar en ello es que la mayoría de los representantes del coset son de la forma $u_+(c)w_0$ , donde $u_+(c)$ es la transposición de $u_-(c)$ y sólo el coset trivial no es de esta forma; sucede que $u_+(c)w_0$ y $u_-(c^{-1})$ se encuentran en el mismo coset cuando $c \ne 0$ .

Su cuenta a través de la descomposición de Bruhat muestra lo que sucede aquí: se obtiene $(1 + N(p))(1 + N(p)^2) = 1 + N(p) + N(p)^2 + N(p)^3$ lo que sugiere, correctamente, que hemos estratificado $\mathbb P^3k$ por espacios afines de las dimensiones obvias, correspondientes a los elementos del grupo de Weyl $1$ , $x$ , $x y$ y $x y x$ (que son representantes de longitud mínima en el cociente por un subgrupo parabólico apropiado, ¡que es sin duda lo que le llevó a elegirlos!)