Si $z = \tan(x/2)$ ¿Qué es? $\sin(x)$ y $\cos(x)$ ?

Question

Mientras leía la gaceta matemática, me di cuenta de un interesante "teorema". Si $z = \tan(x/2)$ entonces $\sin(x) = \frac{2z}{1+z^2}$ y $\cos(x) = \frac{1-z^2}{1+z^2}$ .

¿Cómo puedo derivarlas para no tener que recordarlas?

Answer 1

Sugerencia Escribe $\sin(\frac{x}{2} + \frac{x}{2})$ y $\cos(\frac{x}{2} + \frac{x}{2})$

Answer 2

Yo diría que son útiles para recordar - son útiles en la integración y también parametrizan el círculo unitario (las dos cosas están relacionadas).

Puede utilizar $$\sin x =2 \sin \frac x2 \cos \frac x2=\frac {2 \sin \frac x2 \cos \frac x2}{\cos^2 \frac x2 + \sin^2 \frac x2}$$ y de forma similar para $\cos x = \cos^2 \frac x2 - \sin^2 \frac x2$ .

Te dejo para que acabes con esto.

Debes notar la relación con el teorema de Pitágoras - ver los elementos de las fracciones como $2t, 1-t^2, 1+t^2$ (Yo uso $t$ en lugar de $z$ que no es obligatorio, pero es habitual). A continuación, tiene $$(1-t^2)^2+(2t)^2=1+2t^2+t^4=(1+t^2)^2$$ Así, para cada valor de $t$ se obtiene un triple pitagórico. (También se puede utilizar $t^2-1$ para esto si se trabaja con números enteros positivos)

Answer 3

\begin{align} z & = \tan \frac x 2 & & \frac z 1 = \tan = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \\[10pt] x & = 2\arctan z \\[10pt] \sin x & = \sin(2\arctan z) \\ & = \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \\[10pt] & = 2\sin(\arctan z)\cos(\arctan z) \\[10pt] & = 2 \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \cdot \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\[10pt] & = 2\frac{z}{\sqrt{1+z^2}} \cdot\frac{1}{\sqrt{1+z^2}} \\[12pt] & = \frac{2z}{1+z^2}. \end{align} El hecho de que $\text{hypotenuse} = \sqrt{1+z^2}$ proviene del teorema de Pitágoras. Y $\cos x$ se maneja de manera similar.

Answer 4

Tenemos

\begin{align} \frac{2z}{1+z^2}& =\frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}=\frac{2\tan(x/2)}{\frac{\cos^2(x/2)+\sin^2(x/2)}{\cos^2(x/2)}} \\[20pt] & =\frac{2\sin(x/2)\cos^2(x/2)}{\cos(x/2)}=2\sin(x/2)\cos(x/2)=\sin(x) \end{align}

Answer 5

$$\frac{2\tan(x/2)}{1+ \tan^2(x/2)} = \frac{2\tan(x/2)}{\sec^2(x/2)} = 2\tan(x/2) \cdot \cos^2(x/2) = 2\sin(x/2)\cos(x/2) = \sin(2\cdot x/2) = \sin(x)$$

$$\frac{1- \tan^2(x/2)}{1+ \tan^2(x/2)} = \frac{1- \tan^2(x/2)}{\sec^2(x/2)} = 1- \tan^2(x/2) \cdot \cos^2(x/2) = \cos^2(x/2) - \sin^2(x/2) = \cos(2 \cdot x/2) = \cos(x)$$