Desigualdad con condición $x+y+z=xy+yz+zx$

Question

Intento demostrar la siguiente desigualdad:

Para $x,y,z\in\mathbb{R}$ con $x+y+z=xy+yz+zx$ , demuestre que $$ \frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\ge-\frac{1}{2} $$ Mi enfoque:

Tras una ligera manipulación, la desigualdad equivale a $$ \sum_{cyc}\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\ge 2 $$ Ahora, aplicar CS es legítimo y reduce la desigualdad a demostrar: $$ s^2-10s-3\le0 $$ con $s=x+y+z=xy+yz+zx$ pero no estoy muy seguro de que esto siga siendo cierto. ¿Podría alguien darme una pista en la dirección correcta? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Esta es una forma de utilizar CS para resolver la desigualdad. Primero, reescribimos lo que queremos demostrar como $$\frac{(x+1)^2}{x^2+1}+\frac{(y+1)^2}{y^2+1} \ge 2-\frac{(z+1)^2}{z^2+1} = \frac{(z-1)^2}{z^2+1}$$

Ahora la restricción da $z = \dfrac{x+y-xy}{x+y-1}$ . Utilizando esto, sólo tenemos que mostrar $$\frac{(x+1)^2}{x^2+1}+\frac{(y+1)^2}{y^2+1} \ge \frac{(xy-1)^2}{(x+y-xy)^2+(x+y-1)^2}$$

Usando CS en el LHS, tenemos $$\left(\frac{(x+1)^2}{x^2+1}+\frac{(y+1)^2}{y^2+1}\right)\left((x^2+1)(y-1)^2+(y^2+1)(x-1)^2 \right) \ge \left((x+1)(y-1)+(y+1)(x-1) \right)^2=4(xy-1)^2$$

Por lo tanto, basta con demostrar $$4(x+y-xy)^2+4(x+y-1)^2 \ge (x^2+1)(y-1)^2+(y^2+1)(x-1)^2$$ lo que se reduce a demostrar que la siguiente cuadrática (en digamos $x$ ) es no negativo: $$(y^2-3y+3)x^2 - (3 y^2-8 y+3)x + (3y^2-3y+1) \ge 0$$ que es fácil de mostrar como su discriminante, $-3(y^2-1)^2$ nunca es positivo.

Answer 2

Es sólo $$(x-yz)^2+(y-zx)^2+(z-xy)^2+(x+y+z+1)^2+(x+y+z+xyz)^2\geq0.$$ ¡Hecho!

Answer 3

Una pista: $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$

Pista 2: se trata de una ecuación cuadrática que impone restricciones a $x+y+z$ y $x^2+y^2+z^2$