simplificar $\sqrt[3]{x \sqrt[3]{ x \sqrt[3]{x ...}} }$ -- si $x$ ¿es negativo?

Question

Me dieron este problema recreativo: simplificar $$\sqrt[3]{x \sqrt[3]{ x \sqrt[3]{x ...}} }$$

La solución no es difícil. Deja que $y = \sqrt[3]{x \sqrt[3]{ x \sqrt[3]{x ...}} }$ entonces $y^3 = xy$ , $y=\sqrt{x}$

El problema no lo especificaba, pero si $x$ es negativo, ¿funcionaría esto?

Answer 1

Nota: si $x$ es real, con $x \lt 0$ Entonces, usted tiene

$$\sqrt[3]{x} \lt 0 \tag{1}\label{eq1A}$$

$$\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}} \gt 0 \tag{2}\label{eq2A}$$

$$\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}} \lt 0 \tag{3}\label{eq3A}$$

Confío en que veas el problema que se produce a medida que vas ampliando la expresión para que tenga más raíces cúbicas.

Answer 2

Has etiquetado tu pregunta con "análisis complejo" y "números complejos". Sin embargo, en este contexto, la función $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ debe definirse con mayor claridad.

Por ejemplo, si definimos $$\sqrt[3]{re^{\theta i}} = \sqrt[3]{r}\cdot e^{\theta i / 3} \\ \sqrt{re^{\theta i}} = \sqrt{r}\cdot e^{\theta i / 2}$$ para $r \geq 0$ y $0 \leq \theta < 2\pi$ Entonces, usted puede mostrar $$\sqrt[3]{x \sqrt[3]{ x \sqrt[3]{x ...}} } = \sqrt{x}$$ para cualquier $x \in \mathbb{C}.$ Esto funciona tanto como un punto fijo de la función $y \mapsto \sqrt[3]{xy}$ y como límite de la secuencia $x_0 = \sqrt[3]{x}$ y $x_{n+1} = \sqrt[3]{xx_n}$ .

Answer 3

Dejemos que $y=\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots}}}$

Así que,

$y=\sqrt[3]{xy}$

Ahora levanta ambos lados a la potencia $3$ obtenemos:

$y^3=xy$

Ahora, $y\ne0$ porque $x$ es negativo como se menciona en el enunciado del problema, podemos dividir ambos lados por $y$ obtenemos:

$y^2=x$

Sin embargo, $y^2=x$ no tiene una solución real ya que $x$ es negativo. Por lo tanto, la expresión dada no tiene una forma cerrada. [ESTA ES LA RESPUESTA REQUERIDA].

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Cuando $x$ es positiva, entonces la ecuación $y^2=x$ se reduce a $y=\sqrt{x}$ .