Señalando $\sqrt 2$ en la línea de números

Question

Sabemos que utilizando un compás y una regla podemos señalar $\sqrt 2$ en la línea numérica. Pero no sabemos el último dígito de $\sqrt 2$ . Entonces, ¿cómo podemos estar seguros de que el número señalado es $\sqrt 2$ ?

Answer 1

Esto no es una respuesta directa a tu pregunta, pero debería dar una idea de cómo podría funcionar algo así.

Digamos que dibujas un círculo de radio $1$ . Sabes cómo encontrar la circunferencia de un círculo, por lo que sabes que la circunferencia de un círculo es $2\pi$ . No se puede medir para que sea exactamente $2\pi$ (tal vez si encontraras una forma de medirlo con una regla lo medirías para ser $6.3$ o $6.28$ o algo así), pero tú conozca que, debido a las propiedades matemáticas de un círculo, la circunferencia debe ser $2\pi$ .

Ahora dibuja dos segmentos de longitud $1$ perpendiculares entre sí que comparten un punto final, y conectar los otros dos puntos finales con un segmento. Ahora has hecho un triángulo rectángulo con catetos de longitud $1$ , por lo que conozca por el teorema de Pitágoras que la hipotenusa es de longitud $\sqrt 2$ . Si lo mide, puede obtener una longitud de $1.4$ o $1.41$ o $1.42$ pero matemáticamente se puede demostrar que (en una versión idealizada de su dibujo donde las líneas tienen espesor cero, etc.) la longitud es $\sqrt 2$ .