Esta transformación de una serie en su fracción continua equivalente, siendo las sumas parciales de la serie iguales a los convergentes de la fracción continua, se debe a Euler. La serie $$\sum_{n\geq 0}c_{n}=c_0+c_1+\dots+c_n+\dots$$ se transforma en la fracción continua
$$b_0+\mathbf{K}\left( a_{n}|b_{n}\right) =b_0+\dfrac{a_{1|}}{|b_{1}}+\dfrac{a_{2}|}{% |b_{2}}+\cdots +\dfrac{a_{n}|}{|b_{n}}+\cdots ,$$
cuyos elementos $a_{n}$ , $b_{n}$ se expresan en términos de $c_n$ de la siguiente manera: $b_0=c_0$ , $a_1=c_1$ , $b_1=1$ y $$a_{n}=-\dfrac{c_{n}}{c_{n-1}},\qquad b_{n}=1+\dfrac{c_{n}}{c_{n-1}}\qquad n\ge 2.$$
Para la serie de potencias $e^x=\sum_{n\geq 0}\dfrac{1}{n!}x^{n}$ tenemos $c_{n}=\dfrac{1}{n!}x^{n}$ , y obtener $$a_{n}=-\dfrac{c_{n}}{c_{n-1}}x=-\dfrac{1}{n}x,\qquad b_{n}=1+\dfrac{c_{n}}{c_{n-1}}=1+\dfrac{1}{n}x\qquad n\ge 2.$$
Así,
$$\begin{eqnarray*} e^x &=&\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n!}x^{n}=1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n!}x^{n} \\ &=&1+\frac{x|}{|1}-\frac{\frac{1}{2}x|}{|1+\frac{1}{2}x}-\cdots -\frac{\frac{% 1}{n}x|}{|1+\frac{1}{n}x}-\cdots, \end{eqnarray*}$$
lo que equivale a
$$1+\frac{x|}{|1}-\frac{x|}{|2+x}-\frac{2x|}{|3+x}-\cdots -\frac{nx|}{|n+1+x}+\cdots.$$
Esto se explica en la página 17 de La doctrina de las fracciones continuas Banda II de Oskar Perron y demostrado en el Teorema 4.2 de Polinomios ortogonales y fracciones continuas desde el punto de vista de Euler por Sergey Khrushchev. Se deriva de un teorema que establece la equivalencia entre una secuencia y una fracción continua.
