Superposición de procesos

Question

Considerando el tráfico en la carretera representada en la figura 4.8.2, se sabe lo siguiente. El número de vehículos que pasan por el punto A en una hora sigue la regla de Poisson

con una media de 60; el 20% de estos vehículos son camiones. El número de vehículos que pasan por B en una hora también tiene una distribución de Poisson con una media de 80: el 30% de ellos son camiones. En general, el 10% de los vehículos se detienen en el restaurante. El número de personas de un camión es uno; el número de pasajeros de un coche es igual a 1, 2, 3, 4 ó 5 con las probabilidades respectivas de 0,30, 0,30, 0,20, 0,10 y 0,10.

Encuentre el valor esperado E[Z] del número de personas Z que llegan al restaurante en esa hora

Computar $E[\alpha^{Z}]$ para $\alpha \in [0, 1]$ .

Mi intento

Tomando la superposición de los procesos $N_T(t)$ y $N_c(t)$ entonces

$\delta_T = ((60)(0.2)+(0.8)(0.3))0.1 = 3.6$ camiones por hora $\delta_c = ((60)(0.8)+(0.8)(0.7))0.1 = 10.4$ coches por hora

A partir de aquí, tenemos $E(N_T(1))=3.6$ y

$E(paseengers\ \ cars) = 1(0.4)(0.3)+2(10.4)(0.3)+3(10.4)(0.2)+4(10.4)(0.1)+5(10.4)(0.1) = 24.96$

Entonces, $E(Z)=28.56$ . ¿Es correcto?

Alguien puede helo para $b)$ , realmente puedo entender cómo calcular $E(\alpha^Z)$ para $\alpha \in [0,1]$

Gracias por su tiempo y ayuda.

Answer 1

Pregunta 1

Nota: admito que mi forma de resolver esta cuestión no es necesariamente estándar. Pero es sólo para comprobar la validez de los resultados de OP.

Bueno, lo primero es lo primero. Calculemos el número medio de personas que vienen de un vehículo procedente de cada carril. Llamaremos $C$ la variable aleatoria que contiene el número de pasajeros que salen de un vehículo en el restaurante.

• Cuando $k = 1$ tenemos tanto camiones como coches a tener en cuenta. En ese caso, tenemos $P(C=1 \cap A) = 0.2 + 0.8 \times 0.3 = 0.44$ y $P(C=1 \cap B) = 0.3 + 0.7 \times 0.3 = 0.51$ .

• Cuando $k \geq 2$ sólo tenemos que considerar los coches. En ese caso, y sólo para $k = 2$ tenemos $P(C=2 \cap A) = 0.8 \times 0.3 = 0.24$ y $P(C=1 \cap B) = 0.7 \times 0.3 = 0.21$ . El resto de los cálculos se los dejo a ustedes.

Por lo tanto, ahora podemos calcular $E[C\cap A]$ y $E[C\cap B]$ . Te dejaré los detalles, pero $E[C\cap A] = 2.12$ y $E[C\cap B] = 1.98$ .

Así que, ahora que tenemos eso, podemos decir que el número medio de personas que salen del vehículo cuando viene de $A$ es de 0,212 (debido a la probabilidad del 10% de que el vehículo se detenga en el restaurante en primer lugar) y de 0,198 para $B$ .

Pero eso es para un vehículo. En una hora, tenemos un promedio de 60 vehículos que vienen de $A$ y 80 de $B$ . Así que, en esa hora, eso significa que, de media , $60 \times 0.212 = 12.72 $ la gente vendrá de $A$ al restaurante y $80 \times 0.198 = 15.84$ vendrá de $B$ al restaurante.

Sabiendo que los vehículos no pueden venir de otra dirección, significa que, en promedio, el restaurante recibirá $12.72 + 15.84 = 28.56$ personas.

Mi proceso es diferente, pero sigue siendo el mismo.

Pregunta 2

El teorema de la transferencia indica que $ E[\alpha^Z] = \sum_{k = 0}^{\infty} \alpha^k P(Z=k)$ . La forma más sencilla de calcular esta suma sería encontrar una manera simple de expresar $P(Z=k)$ y llevarnos a una expresión que pueda ser reducida.

Seguiré indagando en esta cuestión.