¿Por qué $\sqrt{2x+15}-6=x$ ¿tiene una solución "impostora"?

Question

Si resuelve $\sqrt{2x+15}-6=x$ para $x$ lo consigues: $$ \sqrt{2x+15} = x+6 $$ $$ 2x+15=(x+6)^2 $$ $$ 2x+15=x^2+12x+36 $$ $$ x^2 + 10x + 21 = 0 $$ $$ (x+7)(x+3) = 0 $$ $$ x=-3,-7 $$ Pero, aunque $x=-3$ funciona, $x=-7$ no lo hace. No creo que haya ningún fallo en la aritmética, o al menos yo no encuentro ninguno (dividir por cero accidentalmente, etc.).

¿Por qué este método de solución da una respuesta que funciona y otra que es completamente falsa? ¿Qué está pasando aquí? ¿Hay una forma mejor de resolver esto para obtener sólo las respuestas que son verdaderas?

Answer 1

La solución "impostora" surgió al elevar al cuadrado. Elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación no es una operación de equivalencia; si bien es cierto que de $x=y$ se deduce que $x^2=y^2$ no es lo mismo que lo contrario, ya que $(-x)^2 = x^2$ pero (a excepción de $x=0$ ) tenemos $-x\ne x$ .

En tu cálculo, el paso que genera la solución extra fue cuando pasaste de $\sqrt{2x+15} = x+6$ a $2x+15=(x+6)^2$ . Se puede comprobar fácilmente que la segunda ecuación se resuelve tanto por $-3$ y $-7$ .

Answer 2

El primer cambio que haces en la ecuación no te da una ecuación equivalente. Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación no conserva el conjunto de soluciones. Todas las soluciones de la solución original siguen resolviendo la nueva, pero algunas soluciones de la nueva no resuelven la anterior.

Considere $$x-2=4$$ y $$(x-2)^2=16$$ El primero sólo tiene la solución $x=6$ pero el segundo también tiene la solución $x=-2$ .

Answer 3

El problema está en la cuadratura. Como señala Ritz en los comentarios, $x=1$ tiene una solución donde $x^2=1$ tiene dos. El número de soluciones aumenta cuando se eleva al cuadrado.

Esto se debe a que la cuadratura no es invertible sobre $\Bbb{R}$ . Si $a=b$ ENTONCES $a^2=b^2$ pero lo contrario no se cumple, por lo que cuando se conecta la solución y se vuelve atrás, se obtienen algunas soluciones adicionales.

Answer 4

Si se reescribe la ecuación después de establecer $t=x+6$ , se obtiene $$ \sqrt{2t+3}=t $$ Ahora debería ver claramente dónde está el problema: el lado izquierdo es un número no negativo (para $t\ge-3/2$ en caso contrario, es indefinido). Pero, para $-3/2\le t<0$ el lado derecho es negativo . Así, las soluciones de la ecuación debe ser no negativo.

Al cuadrar se "acepta el riesgo" de introducir resultados espurios: en efecto, de la falsa relación " $1=-1$ " se obtiene, después de elevar al cuadrado, la verdadera relación " $1=1$ ", lo que, sin embargo, no hace que el original sea cierto.

En este caso, al elevar al cuadrado se obtiene $t^2-2t-3=0$ que tiene $t=3$ y $t=-1$ como raíces; ya que $-3/2\le -1<0$ la raíz $t=-1$ debe ser descartado.

Puedes permanecer en el lado seguro si siempre acompañas la ecuación con las condiciones bajo las cuales la cuadratura no introduce soluciones deshonestas: $$ \begin{cases} 2x+15=(x+6)^2\\[3px] x+6\ge0\\[3px] \color{gray}{2x+15\ge0} \end{cases} $$ La última es la condición para la existencia del radical y la he puesto en gris porque está implícita en la primera ecuación.

Después de resolver la ecuación, encontrar las raíces $x=-7$ y $x=-3$ , se descarta la primera porque no satisface $x+6\ge0$ .

Answer 5

Debe recordar que $\text{sqrt}$ es una función no negativa, por lo que las únicas respuestas aceptables son aquellas para las que $x+6\geq 0$ .