Para un campo vectorial continuamente diferenciable $F$ el teorema de la divergencia se puede utilizar para dar $$(\nabla\cdot F)(a) = \lim_{r\to 0} \frac{3}{4\pi r^3}\int_{|x-a|=r} F \cdot n dA$$ Esto debería significar que para $c<3 $ $$\lim_{r\to 0} \frac{3}{4\pi r^c}\int_{|x-a|=r} F \cdot n dA=0$$ En particular para $c=2$ que $$\lim_{r\to 0} \frac{3}{4\pi r^2}\int_{|x-a|=r} F \cdot n dA=0$$
Aunque entiendo matemáticamente por qué la divergencia está asociada a la primera ecuación dada anteriormente, no tengo una buena comprensión de por qué intuitivamente es correcto dividir por $r^3$ en lugar de $r^2$ . Habría pensado que como el flujo es una integral de superficie deberíamos dividir por $r^2$ para tener en cuenta el tamaño cambiante de la superficie. ¿Puede alguien dar una explicación intuitiva de lo que me falta?
