¿Cómo demostrar que para el índice i todas las n sumas siguientes son positivas?

Question

Dados son $n$ números reales $x(1)$ , $x(2)$ , ..., $x(n)$ . Algunos de ellos son positivas, otras pueden ser negativas. La suma total es positiva. Demuestra la siguiente afirmación:

Existe algún índice $i$ tal que todos los $n$ sumas son positivas:

$$x(i)$$ $$x(i) + x(i+1)$$ $$x(i) + x(i+1) + x(i+2)$$ $$...$$ $$x(i) + x(i+1) + x(i+2) + ... + x(i+n-1)$$ Aquí, "más" y "menos" dentro de los paréntesis se refieren al módulo $n$ .

Answer 1

Para $0\le i\le n$ , dejemos que $s(i)=x(1)+\cdots +x(i)$ (así que en particular $s(0)=0$ y $s(n)>0$ ). Sea $$m=\min\{s(0),s(1),\ldots,s(n)\} $$ y que $\iota$ sea máxima con $0\le\iota\le n$ y $s(\iota)=m$ . Como $s(0)=0<s(n)$ es evidente que $m\le 0$ y $\iota<n$ . Así, para $i:=\iota+1$ tenemos $1\le i\le n$ como se desee. Entonces para $1\le j<i$ encontramos $$x(i)+\cdots+x(n)+x(1)+\cdots + x(j)=s(n)-s(\iota)+s(j)\ge s(n)>0$$ y para $i\le j\le n$ tenemos $s(j)>m$ y por lo tanto $$x(i)+\cdots+ x(j)=s(j)-s(\iota)>0.$$