¿Cómo se aplica la definición de foco-dirección de una sección cónica a un círculo?

Question

Una de las definiciones de sección cónica es que la sección cónica es un lugar de puntos cuya distancia al foco $F$ es un múltiplo constante de la distancia entre ellos y la directriz $D$ es decir

$e = \frac{d(P,F)}{d(P, D)}$

Dónde $e$ es la excentricidad. Se dice que la excentricidad de un círculo es $0$ lo que significa:

$0 = \frac{d(P,F)}{d(P, D)}$

por lo tanto,

$d(P,F)=0$

Lo que me confunde de esto, es que, a diferencia de otras secciones cónicas, donde habría un número infinito de puntos $P$ que satisfacen la ecuación dada, parece que el único punto que satisface esta ecuación es el punto $P=F$ . Sin embargo, el círculo está compuesto por infinitos puntos, lo cual es contradictorio. ¿Puede alguien explicar cuál es la interpretación geométrica de esto, y en qué me equivoco?

Answer 1

Consideremos la siguiente ilustración de una triple familia de cónicas, cada una con un foco común y excentricidades coincidentes, pero con directrices distintas. (La animación oscila entre las excentricidades $0$ y $2$ .)

A medida que cada cónica se hace más circular, su directriz se aleja. En consecuencia, no es descabellado decir que, como caso límite, una circunferencia (no degenerada), que tiene excentricidad $0$ tiene su directriz "en el infinito", lo que es coherente con la relación

$$\text{eccentricity} = \frac{\text{distance from point to focus}}{\text{distance from point to directrix}} \tag{$ \N - La estrella $}$$

Por supuesto, esto hace que una directriz sea completamente inútil para determinar un círculo de forma única, ya que los tres círculos concéntricos mostrados tienen el mismo foco fijo y "la misma" directriz infinitamente distante. (Otro detalle: la directriz de un círculo está realmente "en el infinito". en cualquier dirección ; por lo tanto, es realmente un indeterminado elemento).

Por lo demás, tienes razón en que, para una línea dada (no en el infinito) y un foco dado (no en el infinito), la relación $(\star)$ con excentricidad $0$ define un punto-círculo (es decir, un círculo de radio $0$ ) en el foco/centro. (Arruga relacionada: Para tal círculo, cualquier La línea que no pasa por el foco/centro sirve de directriz).

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Esta es una de las formas en que las secciones cónicas obligan a la gente a enfrentarse -y a aceptar- el infinito. Al igual que en el caso anterior, la clave para entenderlo es considerar cualquier cónica en particular, no como una curva aislada, sino como parte de una familia de curvas.