si $0$ no es un punto de acumulación para $\{1/b_n\}$ entonces $\{b_n\}$ converge a $b$ .

Question

Dejemos que $\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ sea una secuencia de números complejos con un solo punto de acumulación $b$ . Dejemos que $b_n \neq 0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ . Demuestre que si $0$ no es un punto de acumulación para $\{1/b_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ entonces $\{b_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ converge a $b$ .

Sé que una secuencia compleja acotada con un solo punto de acumulación es convergente, y he intentado utilizar este resultado para demostrar la afirmación, pero aún no lo he conseguido. Esto me quita el sueño.

Answer 1

Desde $0$ no es un punto de acumulación, existe $c>0$ , un número entero $N$ tal que para cada $n>N, |{1\over b_n}|>c$ Esto implica que $|b_n|<{1\over c}$ y $(b_n)$ está acotado.

Supongamos que no converge hacia $b$ existe $d>0$ , tal que para cada $p$ existe $n_p>n$ tal que $|b_{n_p}-b|>d$ ya que $(b_{n_p})$ está acotado, tiene un punto de acumulación $b'=b$ , $|b-b'|=|b-b_{n_p}+b_{n_p}-b'|\geq |b-b_{n_p}|-|b'-b_{n_p}|\geq d-|b'-b_{n_p}|$ podemos encontrar $n_{p'}$ tal que $|b'-b_{n_{p'}}|<{d\over 2}$ deducimos que $0=|b-b'|\geq d-{d\over 2}$ contradicción.