Si tenemos una extensión de paquetes $0 \to E \to F \to G \to 0$ en $X$ , entonces para demostrar que este es el elemento cero en $Ext^1_X(G,E)$ necesitamos demostrar que esta secuencia se divide. Producir un desdoblamiento es una cuestión concreta en álgebra homológica. Entiendo que en general si tenemos una extensión $ 0 \to E \to E_1 \to \cdots \to E_k \to G \to 0$ , sin llegar a mostrar $Ext^k_X(G,E)=0$ No hay una receta sencilla para demostrar que esta extensión particular es cero. Pero, ¿hay algún ejemplo conocido en el que se haya demostrado tal cosa? Básicamente estoy interesado sólo en el caso $k=2$ . ¿Existe una receta sencilla en este caso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Existe una receta sencilla para demostrar que un producto de dos $Ext^1$ es cero (y está claro que cualquier $Ext^2$ puede representarse como un producto de este tipo). En concreto, dejemos que $0 \to E_0 \to E_{01} \to E_1 \to 0$ y $0 \to E_1 \to E_{12} \to E_2 \to 0$ son dos triples exactos. El producto de los elementos correspondientes $e_{01} \in Ext^1(E_1,E_0)$ y $e_{12} \in Ext^1(E_2,E_1)$ Es decir $e_{01}\circ e_{12} \in Ext^2(E_2,E_0)$ es cero, si y sólo si existe un objeto $E$ con una filtración de longitud 3 sobre ella $F_0E \subset F_1E \subset F_2E = E$ tal que el primer triple es isomorfo a $0 \to F_0E \to F_1E \to F_1E/F_0E \to 0$ y el segundo triple es isomorfo a $0 \to F_1E/F_0E \to F_2E/F_0E \to F_2E/F_1E \to 0$ .
He aquí un esbozo de prueba. Consideremos la secuencia exacta larga que se obtiene aplicando $Hom(E_2,-)$ a $0 \to E_0 \to E_{01} \to E_1 \to 0$ : $$ \dots \to Ext^1(E_2,E_{01}) \to Ext^1(E_2,E_1) \to Ext^2(E_2,E_0) \to \dots $$ Está claro que la clase $e_{12}$ es asignada por la segunda flecha a la clase $e_{01}\circ e_{12} = 0$ por lo que existe una clase $e \in Ext^1(E_2,E_{01})$ que se asigna a $e_{12}$ por la primera flecha. Sea $E$ sea la extensión correspondiente. Entonces tenemos una secuencia exacta $0 \to E_{01} \to E \to E_2 \to 0$ y un morfismo desde esta a la secuencia $0 \to E_1 \to E_{12} \to E_2 \to 0$ tal que el mapa $E_{01} \to E_1$ es el dado y el mapa $E_2 \to E_2$ es la identidad (puedes escribir un diagrama conmutativo aquí). Se deduce que el mapa inducido $E \to E_{12}$ es una suryección y su núcleo es $E_0$ . Esto es precisamente lo que se ha afirmado ( $F_1E$ es la imagen de $E_{01}$ en $E$ y $F_0E$ es la imagen de $E_0 \subset E_{01}$ ).
