Sobre los isomorfismos que conservan la orientación entre espacios vectoriales

Question

Esto es del libro de Guillemin y Pollack, p. 96.

Si $A: V\to W$ es un isomorfismo de espacios vectoriales, entonces siempre que dos bases ordenadas $\beta$ y $\beta'$ en $V$ pertenecen a la misma clase de equivalencia, también lo hacen las dos bases ordenadas $A\beta$ y $A\beta'$ en $W$ . Por lo tanto, si ambos $V$ y $W$ están orientados, lo que significa que se especifica una orientación se especifica para ambos, el signo de $A\beta$ es siempre el mismo que el signo de $\beta$ o siempre opuesto. Es decir, $A$ o bien conserva o invierte orientación. (Tenga en cuenta que si $\beta=(v_1,\dots,v_n)$ entonces $A\beta$ significa $(Av_1,\dots, Av_n)$ .)

• ¿Qué se entiende por "si ambos $V$ y $W$ están orientados, lo que significa que se especifica una orientación se especifica para ambos, el signo de $A\beta$ es siempre el mismo que el signo de $\beta$ ¿o siempre opuesto"? Quiero decir que sin ninguna suposición adicional no hay una tercera opción -- sólo hay dos posibilidades para el signo de $A\beta$ . ¿Por qué está presente "así" en esta frase y cómo se relaciona con la frase anterior?
• Entonces, según la definición anterior, un isomorfismo $A:V\to W$ conserva la orientación si para cualquier base $\beta$ de $V$ la base $A\beta$ de $W$ tiene el mismo signo que $\beta$ . ¿Es esto lo mismo que exigir que $\det A > 0$ ? Si es así, ¿por qué?
• No consigo organizar ordenadamente la notación para establecer la afirmación en la primera frase. Al tratar con $n^2$ Los índices son un dolor. ¿Cómo puedo demostrar esta afirmación fácilmente?

Answer 1

Desde $A$ es un mapa lineal entre diferentes espacios vectoriales $V$ y $W$ su determinante no está bien definido, por lo que no se puede utilizar para caracterizar la orientación. Así que tenemos que usar alguna estructura extra en $V$ y $W$ (una opción de orientación) para determinar si $A$ conserva o invierte la orientación.

En cuanto a la demostración de la afirmación de la primera pregunta, supongo que la clase de equivalencia se define en las bases por $\alpha \sim \beta$ cuando el operador de cambio de base de $\alpha $ a $\beta$ tiene un determinante positivo. Es decir, el operador $C: V \to V$ definido por $C\alpha_i = \beta_i $ satisface $\det C > 0$ . Para comprobar la afirmación, averigua cómo escribir ahora el operador de cambio de base de $A\alpha$ a $A\beta$ y comprobar que su determinante es positivo.