Desmontando el argumento de Tesla contra la relatividad general

Question

Nikola Tesla no creía en la relatividad. Más contexto histórico aquí . En una entrevista de 1931 con Hugo Gernsback, expuso el siguiente argumento contra la relatividad general:

Tesla contradice rotundamente una parte de la teoría de la relatividad, al sostener que la masa es inalterable; de lo contrario, se podría producir energía de la nada, ya que la energía cinética adquirida en la caída de un cuerpo sería mayor que la necesaria para levantarlo a una pequeña velocidad.

Completando algunos de los pasos de la lógica, parece que está asumiendo que la masa gravitatoria pasiva es igual a la masa relativista, y por lo tanto la fuerza de la gravedad terrestre durante la caída sería mayor que la fuerza durante la elevación lenta. Eso significa que el trabajo en una trayectoria cerrada sería distinto de cero.

¿Hay una explicación sencilla para esto? Es fácil encontrar agujeros en el argumento, ya que la RG no describe la gravedad como una fuerza, y las interacciones gravitatorias dependen del tensor tensión-energía, no de la masa-energía. Pero eso no me parece una resolución completa de la cuestión.

La relación $W=\int F dx$ es exacta en relatividad especial si $F$ es la triple fuerza, ya que $dE/dx=(dE/dp)(dp/dt)(dt/dx)$ y $dE/dp=p/E$ . Sin embargo, esto parece ambiguo en el contexto de la RG, ya que, por ejemplo, la tensión en un trozo de cuerda que cuelga está sujeta a una corrección igual al factor de corrimiento gravitacional evaluado entre los extremos.

Una posible manera de llegar a esto sería imaginar un escenario ligeramente diferente que puede ser más sencillo de razonar. Disparamos una partícula de prueba directamente en el pozo gravitatorio de un planeta con energía relativista $E_1$ . En el fondo, reducimos su velocidad exactamente a la velocidad de escape, extrayendo energía $E_2$ de ella, y luego la reflejan hacia arriba, de modo que vuelve a subir con energía total cero. Entonces el argumento de Tesla parece ser que $E_2>E_1$ lo que parece poco probable ya que tenemos una energía conservada para el movimiento geodésico de una partícula de prueba en este campo.

Answer 1

Para una métrica estacionaria con un campo de Killing asintóticamente semejante en el tiempo, la contracción del campo de Killing y de cualquier cuatro-velocidad geodésica es una cantidad constante $E$ que podría llamarse razonablemente la "energía mecánica", que se conserva en ausencia de fuerzas externas. Para simplificar, consideremos el exterior de una distribución de materia con simetría esférica, descrita por la métrica de Schwarzchild. Un cálculo estándar da como resultado que $E = (1 - 2 G M / r)\ dt/d\tau$ se conserva en esta región.

Cuando nos enfrentamos a una aparente violación de la conservación de la energía, la mejor manera de ver el problema suele ser intentar idear algún tipo de ciclo que aproveche la aparente violación para proporcionar una fuente infinita de energía. Si disparamos una partícula desde el infinito a velocidad cero, la energía $E$ será igual a la inicial $\gamma := dt/d\tau$ factor $\gamma_0 = 1$ para que $\gamma \equiv 1/(1 - 2 G M / r) = r/(r - r_*)$ , donde $r_*$ es el radio de Schwarzchild $2 G M$ . Al caer hacia dentro, el $(1 - 2 G M / r)$ disminuirá de $1$ y el $\gamma$ aumentará en consecuencia. A grandes rasgos, podemos pensar en $\gamma$ como la "energía en reposo más cinética" y $(1 - 2 G M / r)$ como la "energía potencial" (salvo que se conserva su producto en lugar de su suma). Vemos que, precisamente como en la situación no relativista, cualquier energía que extraigamos al hacer rebotar la partícula contra un pistón o algo disminuirá el radio máximo al que puede rebotar, por lo que extraeremos cada vez menos energía con cada rebote, con un límite finito en la energía total.

Carroll explica muy bien lo que ocurre en la página 208 de su libro de texto:

La energía de una partícula con cuatro momentos $p^\mu$ medido por un observador con cuatro velocidades $U_\mu$ sería $-p_\mu U^\mu$ . Este no igual, o incluso proporcional a [la cantidad conservada E], incluso si se considera que el observador es estático ( $U_i = 0$ ) .... $-p_\mu U^\mu$ puede considerarse como la energía inercial/cinética de la partícula, mientras que $[E =\, ] p_\mu K^\mu$ es la energía total conservada, incluida la energía potencial debida al campo gravitatorio. La noción de energía potencial gravitatoria no siempre está bien definida, pero la energía total está bien definida en presencia de un vector de Killing semejante al tiempo.

Tesla sólo consideraba la "energía en reposo más la cinética" $\gamma$ que efectivamente no se conserva, incluso cuando añadido a cualquier posible $V(r)$ . Pero no tuvo en cuenta la "energía potencial gravitatoria" $(1 - 2 G M / r)$ porque en la RG se tiene la propiedad extremadamente no newtoniana de que el producto en lugar de conservarse la suma de la "energía cinética" y la "energía potencial".