Cálculo multivariable Generación de volúmenes

Question

Actualmente me encuentro con esta pregunta y estoy un poco confundido -

Sea a una constante positiva. Se sabe que el volumen del sólido limitado en su parte inferior por la superficie $z = x^2 + ay^2 $ y la parte superior por la superficie $ z = (a+1)^3 - ax^2 - y^2 $ es igual a 2017. Encuentra el valor de a.

Sé que tenemos que utilizar la integración doble utilizando la ecuación $ z = (a+1)^3 - ax^2 - y^2 $ ya que el volumen se encuentra por debajo de ella. Sin embargo, ¿cuál será el dominio que tendré que utilizar para la integración?

Answer 1

El dominio también será una función de $a$ . Ajuste de la $z$ de las dos ecuaciones iguales y jugando, obtenemos $$y = \pm\sqrt{(1+a)^2-x^2}\,$$ así que ese será su límite para $y$ . Entonces, dejar que $y = 0$ , obtendremos límites en $x$ como $$\pm(1+a)\,.$$

Answer 2

Las dos superficies se cruzan cuando

$$x^2+ay^2=(a+1)^3-ax^2-y^2$$ o $$x^2(1+a)+y^2(1+a)=(1+a)^3.$$

Dividiendo por $1+a$ obtenemos la ecuación de un círculo:

$$x^2+y^2=(1+a)^2.$$ El disco rodeado por este círculo es el dominio de integración.