¿El conjunto $\left\{\left(f,\int_a^b f\right):f\in X\right\}$ representar una función?

Question

Estoy trabajando a través de Topología de Grado por Kasriel, y el autor pregunta lo siguiente:

Dejemos que $X$ sea el conjunto de todas las funciones continuas de valor real definidas en $\left[a,b\right]$ . Hace \begin{align} \Gamma=\left\{\left(f,\int_a^bf\right):f\in X\right\},\tag{1} \end{align} representar una función, o más aún, una función 1-1?

Hasta ahora he determinado que no puede ser 1-1 porque en algún intervalo $\left[a,b\right]$ , $\int_a^b f$ siempre da como resultado el mismo valor, ya que sólo depende de los puntos finales. Por lo tanto, el rango de este conjunto será el singleton $\left\{\int_a^b f\right\}$ . Ahora, ¿qué pasa con el dominio? Si $f$ es monótona, entonces supongo que este conjunto podría definirse en todas las posibles $\left[a,b\right]\subset\mathbb{R}$ . Sin embargo, si es periódica con periodo $L$ como $\cos$ o $\sin$ entonces sólo sería una función mientras a lo largo del intervalo, algún subconjunto de ese período, la función sea monótona.

¿Suena esto bien? Siento que hay un fallo en alguna parte de mi lógica.

Answer 1

Parece que está tratando $f$ como fijo y $[a,b]$ como variable, y no al revés. La función es $$ f\mapsto \int_a^b f(x)\,dx. $$ ¿Define esto realmente una función? En otras palabras, dada una función $f$ que es continua en $[a,b]$ ¿existe siempre un valor único bien definido de la integral? La respuesta es sí, porque $f$ al ser continua en un intervalo acotado, es acotada (por lo que no tiene asíntotas verticales o algo peor) y una función acotada medible (y las funciones continuas son medibles) en un conjunto acotado medible es integrable.

La cuestión de si es uno a uno es la de si puede haber dos entradas que den el mismo resultado: \begin{align} f & \mapsto \int_a^b f(x)\,dx \\[10pt] g & \mapsto \int_a^b g(x)\,dx \end{align} ¿Podrían ambas integrales ser el mismo número aunque $f$ y $g$ son funciones diferentes? En otras palabras, ¿podrían dos funciones diferentes tener la misma área bajo sus gráficos entre $a$ y $b$ ? Haz algunos dibujos sencillos y lo verás.

Answer 2

Estás malinterpretando el uso de la notación del constructor de conjuntos aquí. $\Gamma$ no es algo que dependa de una $f$ es un conjunto que (potencialmente) contiene un par para todo lo posible elemento de $X$ . Podríamos escribir $$ \textstyle \Gamma = \{ (f,\int_a^b f), (g,\int_a^b g), (h,\int_a^b h), \ldots \} $$ donde $f, g, h, \ldots $ son todas las funciones que son miembros de $X$ -- excepto, por supuesto, que hay infinitas funciones de este tipo. Así que en su lugar escribimos, $$ \textstyle \Gamma = \{ (f,\int_a^b f) \mid f\in X \} $$ para significar, " por cada función $f$ en $X$ integrarlo, crear el par $(f,\int_a^b f)$ y meter este par en $\Gamma$ ".

Este es una función, porque si $(f,a)$ y $(f,b)$ son ambos en $\Gamma$ entonces $a$ y $b$ debe ser el mismo -- cada $f$ sólo se utiliza para poner un par en $\Gamma$ .

¿Es uno a uno? Eso depende de si puede haber dos diferentes funciones en $X$ que ambos tienen lo mismo integral de $a$ a $b$ .

Answer 3

En primer lugar, está bien definido ya que si $f=g$ entonces seguramente $$\int_a^bf(x)\ dx = \int_a^bg(x)\ dx.$$ Por lo tanto, se trata de una función. Tienes razón al afirmar que no es 1-1, en general. Por ejemplo, si $a=-\pi/2,\ b=\pi/2$ entonces: $$\Gamma(\sin(x))=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(x)\ dx = 0 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}x^3 dx = \Gamma(x^3),$$ pero $\sin(x)\neq x^3$ .

Answer 4

Una relación binaria, $R$ entre dos conjuntos, $A$ y $B$ se define como sigue:

$R\subseteq A\times B$

si $(a,b)\in R$ entonces decimos $aRb$ - se relaciona $a$ a $b$ .

Una función es un tipo especial de relación. Cualquier relación binaria que:
1) Asocia a todos los miembros en $a$ con algo
2) Si tenemos $aRx$ y $aRy$ entonces $y=x$

La relación binaria es una función. La escribimos como $R:A\rightarrow B$

SUGERENCIA:
Me parece que tienes una función.