Evaluar $\int_0^{\pi /2}\cot^n(x)dx$

Question

¿Alguien sabe cómo tratar la integral $$\int_0^{\pi /2}\cot^n(x)dx$$

con $n\in (-1,1)$ ?

Al parecer, se trata de una identidad muy conocida: figura en el página de wolfram para el cotangente donde dice que es igual a $2^{-1}\pi \sec [2^{-1} (\pi n)]$

¡Gracias de antemano por cualquier solución o pista!

Answer 1

Para $|n|<1$ podemos escribir

$$\begin{align} \int_0^{\pi/2}\cot^n(x)\,dx&=\frac12 B\left(\frac{1-n}{2},\frac{1+n}{2}\right)\\\\ &=\frac12 \Gamma\left(\frac{1-n}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+n}{2}\right)\\\\ &=\frac{\pi}{2\sin\left(\pi \frac{1+n}{2}\right)}\\\\ &=\frac{\pi}{2\cos(n\pi/2)} \end{align}$$

Answer 2

Si $\alpha\in(-1,1)$ $$I(\alpha)=\int_{0}^{\pi/2}\cot^{\alpha}(x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\tan^{\alpha}(x)\,dx = \int_{0}^{+\infty}\frac{t^{\alpha}}{1+t^2}\,dt $$ y la última integral se reduce a un valor del Función beta de Euler mediante la sustitución $\frac{1}{1+t^2}=u$ . Lo conseguimos:

$$ I(\alpha) = \color{red}{\frac{\pi}{2\cos\frac{\pi\alpha}{2}}} $$

como consecuencia de la fórmula de reflexión para el $\Gamma$ función .