distribución de la relación de gamma con diferentes parámetros

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria de distribución gamma con parámetros $a$ y $b$ . Sea $W$ sea una variable aleatoria de distribución gamma con parámetros $c$ y $d$ , de tal manera que \begin{equation} f_X(x) = \frac{x^{a-1}e^{-\frac{x}{b}}}{b^a\Gamma(a)}\quad \text{and} \quad f_W(w) = \frac{w^{c-1}e^{-\frac{w}{d}}}{d^c\Gamma(c)}. \end{equation}

El problema es encontrar la distribución de $\frac{X}{W+s}$ donde $s$ es una constante. Hasta ahora he conseguido, Sea $Z = \frac{X}{W+s} = \frac{X}{Y}$ , tal que la FCD de $Z$ ahora se puede afirmar como. \begin{equation} \int_s^{\infty}\int_{0}^{yz}\frac{x^{a-1}e^{\frac{-x}{b}}(y-s)^{(c-1)}e^{\frac{-(y-s)}{d}}}{b^a\Gamma(a)d^c\Gamma(c)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{equation}

Integrando lo siguiente se obtendrá en \begin{equation} 1-\int_{s}^{\infty}\frac{\Gamma_{inc}(a,\frac{yz}{b})(y-s)^{(c-1)}e^{-\frac{y-s}{d}}}{\Gamma(a)\Gamma(c)d^c}\mathrm{d}y \end{equation} donde $\Gamma_{inc}$ es la función gamma incompleta.

No pude resolver el término integral. ¿Hay alguna manera de resolverlo, o incluso cualquier otra forma el problema de encontrar la distribución de $Z$ .

Answer 1

pdf de .... Relación entre la gamma y la gamma desplazada

Dejemos que $X \sim \text{Gamma}(a,b)$ con pdf $f(x)$ :

Dejemos que $W \sim \text{Gamma}(c,d)$ ser independiente de $X$ y definir el parámetro $s>0$ . Entonces, $W+s$ tiene una distribución Gamma desplazada. Entonces, por cualquiera de los métodos habituales, la pdf de $Y = \frac{\large1}{\large W+s}$ es $g(y)$ :

Buscamos el pdf de $Z = \frac{\large X}{\large W+s} = X*Y$ . Como esto es sólo el producto de dos variables aleatorias independientes, ... la solución pdf, digamos $h(z)$ está dada inmediatamente por:

donde estoy usando el TransformProduct de la función mathStatica paquete para Mathematica para hacer lo más importante.

Todo hecho.

Comprobación de Monte Carlo

Siempre es una buena idea comprobar la salida simbólica. Aquí hay una rápida simulación de Monte Carlo del pdf 'empírico' de $Z = \frac{\large X}{\large W+s}$ (la curva AZUL irregular) en comparación con la solución teórica $h(z)$ (la curva ROJA) derivada anteriormente, cuando:

 params = {a -> 2.3, b -> 3, c -> 4, d -> 5, s -> 7}

Se ve bien.

Notas

1. Para más detalles sobre el Hypergeometric1F1Regularized función, ver: http://reference.wolfram.com/language/ref/Hypergeometric1F1Regularized.html

2. Como revelación, quizá deba añadir que soy uno de los autores del software utilizado anteriormente.

3. La solución anterior funciona para valores reales del parámetro $a$ (pero no para valores enteros). El problema con los valores enteros es alguna manifestación de impar de la forma Mathematica simplifica o convierte ciertas funciones Gamma en funciones trigonométricas, si no recuerdo mal.