Separar una integral en múltiples integrales

Question

Puedo separar una integral así, (3) partes.

$\int_{1}^{4}x^{2}dx = \int_{1}^{2}x^{2}dx + \int_{2}^{3}x^{2}dx + \int_{3}^{4}x^{2}dx$

Descubrí esta forma de separar la integral doble en tres partes.

$\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}x^{2}y^{2}dxdy = \int_{1}^{4}\int_{1}^{2}x^{2}y^{2}dxdy + \int_{1}^{4}\int_{2}^{3}x^{2}y^{2}dxdy + \int_{1}^{4}\int_{3}^{4}x^{2}y^{2}dxdy$

Pero los valores de la integral exterior no cambian (1 a 4). ¿Hay alguna forma de dividir en varias partes cambiando tanto los valores de la integral interna como la externa?

Como, en la triple integral.

$\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}x^{2}y^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz = \int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\int_{1}^{2}x^{2}y^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz + \int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\int_{2}^{3}x^{2}y^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz + \int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\int_{3}^{4}x^{2}y^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz$

o

$\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}x^{2}y^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz = \int_{1}^{4}\int_{1}^{2}\int_{1}^{4}x^{2}y^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz + \int_{1}^{4}\int_{2}^{3}\int_{1}^{4}x^{2}y^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz + \int_{1}^{4}\int_{3}^{4}\int_{1}^{4}x^{2}y^{2}z^{2}\,dx\,dy\,dz$

Sólo puedo separar utilizando una integral cualquiera. Quiero separar usando cambiando los tres valores de la integral.

Answer 1

Sólo puedes hacer esto de una en una, pero puedes hacer las tres. Por ejemplo

\begin{align*} \int_1^4\int_1^4\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz & = \int_1^2\int_1^4\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz + \int_2^3\int_1^4\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz + \int_3^4\int_1^4\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz \\ & = \int_1^2\int_1^2\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz + \int_1^2\int_2^3\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz + \int_1^2\int_3^4\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz \\ & + \int_2^3\int_1^2\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz + \int_2^3\int_2^3\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz + \int_2^3\int_3^4\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz \\ & + \int_3^4\int_1^2\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz + \int_3^4\int_2^3\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz + \int_3^4\int_3^4\int_1^4x^2y^2z^2dxdydz \\ & = etc... \end{align*}

Answer 2

Sí, puede dividir la región de integración en subregiones y utilizar la propiedad aditiva de la integración.

Por ejemplo, en $$ \int_{1}^{4}\int_{1}^{4}x^{2}y^{2}dxdy = \int_{1}^{4}\int_{1}^{2}x^{2}y^{2}dxdy + \int_{1}^{4}\int_{2}^{3}x^{2}y^{2}dxdy + \int_{1}^{4}\int_{3}^{4}x^{2}y^{2}dxdy$$

Puedes ir más allá y tener $$\int_{1}^{4}\int_{1}^{2}x^{2}y^{2}dxdy=\int_{1}^{2}\int_{1}^{2}x^{2}y^{2}dxdy+\int_{2}^{3}\int_{1}^{2}x^{2}y^{2}dxdy+\int_{3}^{4}\int_{1}^{2}x^{2}y^{2}dxdy$$ y así sucesivamente.