Calcular la serie de Fourier

Question

Encuentra la Serie de Fourier de $f(x)=\begin{cases} 1 & x \in(-\pi,0) \\ -1 & x \in(0, \pi) \end{cases}$.

Yo sé que: $$f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n \cos \frac {n\pi x}L+B_n \sin \frac {n\pi x}{L} \right)$$ y entiendo que dado que el período $L = \pi$ entonces $$f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos(nx)+B_n \sin(nx))$$ y $$A_0=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \, dx \\ A_n=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) \, dx \\B_n= \frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) \, dx$$

Pero no sé qué hacer a continuación, ¿es $f(x)$ impar? ¿Entonces tiene que simplificar el cálculo integral?

Answer 1

$$A_0 = \frac 1{2\pi} \left(\int_{-\pi}^0 -1\ dx + \int_{0}^\pi 1\ dx \right)=0$$

Nada sorprendente considerando que $f(x)$ es una función impar. Y dado que $f(x)$ es impar, sabemos: $$A_n = \frac 1{\pi} \left(\int_{-\pi}^0 -\cos nx\ dx + \int_{0}^\pi \cos nx\ dx \right)=0$$

Dejando

$$B_n = \frac 1{\pi} \left (\int_{-\pi}^0 -\sin nx\ dx + \int_{0}^\pi \sin nx\ dx \right)$$

para mantenerte ocupado. Avísame si todavía necesitas ayuda

Answer 2

Sabemos que $f(x)$ es impar si y solo si $f(x) = -f(-x)$, es decir, es simétrica respecto al origen; por lo tanto, las áreas de la función se cancelan y son iguales a cero.

En este caso, la función es claramente impar, por lo que la integral $A_0=0$. Pero también la integral $A_n=0$ ya que $cos(*)$ es una función par y una función par multiplicada por una función impar es una función impar.

Estamos simplemente calculando el coeficiente $B_n$. Ten en cuenta que es una función por partes, así que dividimos la integral

$$B_n = \frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^0 \sin(nx) + \int_0^{\pi} -sin(nx)\right).$$

Te dejo a ti calcular los detalles.

Ten en cuenta que la serie de Fourier es una serie infinita. Después de los primeros 10 términos, la función se parece a la original. Después de 60 términos, comienza a parecerse mucho a $f(x)$ a excepción de las discontinuidades. ¡Esto es el fenómeno de Gibbs!

Answer 3

Gracias a todos por las respuestas, finalmente calculé esto $$A_0=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \, dx = \frac 1{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}f(x)dx +\int_{0}^{\pi}f(x)dx\right)=\frac 1{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}-1dx +\int_{0}^{\pi}1dx\right)=0 \\$$

$$A_n=\frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) \, dx=\frac 1{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}-cos(nx)dx +\int_{0}^{\pi}cos(nx)dx\right) = 0\\$$

$$B_n=\frac 1\pi \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) \, dx = \frac 1{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}-sin(nx)dx +\int_{0}^{\pi}sin(nx)dx\right) = \frac 1{\pi}\left(\left[\frac 1n cos(nx)\right]_{-\pi}^{0} +\left[\frac {-1}n cos(nx)\right]_{0}^{\pi}\right) = \frac 1\pi\left(\frac 1n-\frac {cos(\pi n)}{n}+\left[-\frac {cos(\pi n)}{n}-\left(-\frac 1n\right)\right]\right) = \frac {2(1-cos(\pi n))}{\pi n}\\$$