¿Cuándo un mapa cociente a un espacio orbital es un mapa cerrado?

Question

$\pi :X\to X/G $ donde $G$ es un grupo que actúa sobre X y $X/G $ es el espacio orbital asociado a esta acción. ¿Se puede encontrar en $\pi $ ¿llevar siempre conjuntos cerrados a conjuntos cerrados? (o en otras palabras es $\pi$ un mapa cerrado).

Answer 1

Dejemos que $G=\mathbb{R}$ actuar $X=\mathbb{R}^2$ mediante la traslación a lo largo de la segunda coordenada. Es decir, $$t(x,y)=(x,y+t).$$ El espacio del cociente es $\mathbb{R}$ y el mapa cociente es la proyección sobre la primera coordenada.

Dejemos que $S=\{xy=1\}\subset\mathbb{R}^2$ . Entonces $S$ está cerrado, pero su imagen no lo está.