Valor esperado de $X^n$ para una distribución normal

Question

Sea una variable aleatoria $X$ y $N(0, \lambda ^2)$ dado.
Debo encontrar $E[X^n]$ sabiendo que $\Gamma \big(\frac{1}{2} \big) = \frac{\pi}{2}$ .

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Empecé con la definición: $$E[X^n] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\lambda}\int \limits_{- \infty}^{\infty}x^ne^{\frac{-x^2}{2 \lambda^2}} \mbox{d}x$$ Me lo imaginé: $$E[X^n] = \begin{cases} 0 &\text{for } n = 2k + 1; k \in \mathbb{N} \cup\{0\}\\\text{something}&\text{for } n = 2k; k \in \mathbb{N} \end{cases}$$

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Así que ahora: $$ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\lambda}\int \limits_{- \infty}^{\infty}x^ne^{\frac{-x^2}{2 \lambda^2}} \mbox{d}x = \frac{2}{\sqrt{2 \pi}\lambda}\int \limits_{0}^{\infty}x^ne^{\frac{-x^2}{2 \lambda^2}} \mbox{d}x$$ Lo sustituyo:
$$t = \frac{x}{\lambda}$$
$$\mbox{d}x = \lambda \mbox{d}t$$ Así: $$\frac{2}{\sqrt{2 \pi}\lambda}\int \limits_{0}^{\infty}x^ne^{\frac{-x^2}{2 \lambda^2}} \mbox{d}x = \frac{2 \lambda^{n}}{\sqrt{2 \pi}}\int \limits_{0}^{\infty}t^ne^{\frac{-t^2}{2}} \mbox{d}t.$$ Integrando la fórmula anterior por partes obtengo: $$\frac{2 \lambda^{n}}{\sqrt{2 \pi}}(n-1) \int \limits_{0}^{\infty}t^{n-2}e^{\frac{-t^2}{2}} \mbox{d}t$$ No sé realmente a dónde ir desde aquí. Y por desgracia no veo cómo puedo utilizar la función gamma, que viene dada por esta fórmula: $$\Gamma (z) = \int \limits_{0}^{\infty} x^{z-1}e^{-x} \mbox{d}x,$$ ¿no es así?

Answer 1

En primer lugar, una corrección: el valor de $\Gamma(\frac12)$ es $\sqrt{\pi}$ no $\frac\pi2$ .

Has hecho la mayor parte del trabajo. Si inspeccionas la identidad que has obtenido a través de la integración por partes: $$ E(X^n)=\frac{2 \lambda^{n}}{\sqrt{2 \pi}}\int \limits_{0}^{\infty}t^ne^{\frac{-t^2}{2}} \mbox{d}t=\frac{2 \lambda^{n}}{\sqrt{2 \pi}}(n-1) \int \limits_{0}^{\infty}t^{n-2}e^{\frac{-t^2}{2}} \mbox{d}t\tag1 $$ acabas de demostrar lo siguiente: $$ E(X^n)=(n-1)\lambda^2E(X^{n-2}).\tag2 $$ Ahora (2) es una fórmula recursiva para generar $E(X^n)$ cuando $n$ está en paz. Para aplicar esta fórmula hay que ponerse en marcha con el valor de $E(X^n)$ para algún valor inicial (base) de $n$ como por ejemplo $n=0$ . Pero cuando $n=0$ , estás calculando la expectativa de la constante $1$ que es $1$ . Aplicando (2) repetidamente a este caso base, obtenemos:

$$\begin{align} E(X^0)&=1, \\ E(X^2)&=(2-1)\lambda^2E(X^0)=\lambda^2, \\ E(X^4)&=(4-1)\lambda^2E(X^2)=3\lambda^4, \\ E(X^6)&=(6-1)\lambda^2E(X^4)=15\lambda^6, \end{align}$$

y así sucesivamente. ¿Puedes ver la fórmula general?

No era necesario utilizar la función Gamma, aunque se puede utilizar la sustitución $x=t^2/2$ en el LHS de (1) para obtener una expresión de forma cerrada para $E(X^n)$ en términos de Gamma: $$ E(X^n)=\frac{2^{n/2}\lambda^n}{\sqrt\pi}\Gamma\left(\frac{n+1}2\right).\tag3 $$ Puedes conectar $n=0$ en (3) para encontrar $$ E(X^0)=\frac1{\sqrt\pi}\Gamma(\textstyle\frac12)=1, $$ pero no se necesita la función Gamma para saber que $E(X^0)$ es $1$ .