Supongamos que tengo un conjunto cerrado. Supongamos que lo hago de forma que no haya nada más fuera de dicho conjunto cerrado. A este conjunto lo llamaré "A". Ahora, supongamos que he elegido un subconjunto cerrado de A. Llamaré a este subconjunto "B". Considerando esto, ¿el complemento del subconjunto B es abierto o cerrado? Según la mayoría de los libros de texto, sería abierto: el complemento de un conjunto cerrado es abierto. Sin embargo, el complemento de un subconjunto B es todo lo que está dentro de un conjunto cerrado, por lo que no sería abierto. ¿Es esto una contradicción? Además, ¿podría alguien aclarar qué conceptos asumidos por mí son erróneos? Estoy empezando a aprender sobre conjuntos en mi clase de introducción al análisis real, así que no estoy muy familiarizado con la teoría de conjuntos.
Respuestas
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Si no hay nada fuera del conjunto cerrado $A$ entonces $A$ es el propio espacio. Ahora, el complemento de un subconjunto cerrado $B\subset A$ está abierto. El complemento de $B$ puede ser el conjunto de $A$ en cuyo caso es tanto abierto como cerrado. Esto está absolutamente permitido: a veces los conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados se llaman "clopen".
Ejemplos de conjuntos cerrados:
- El conjunto vacío.
- Los números reales, considerados como un subconjunto del espacio de todos los números reales.
- Dado cualquier espacio topológico $X$ , la propia X.
- Los componentes conectados máximos de un espacio topológico.
- En $\mathbb Q$ , $\{x\in\mathbb Q:x^2>2\}$ .
Resulta un poco confuso que los conjuntos se llamen "abiertos" y "cerrados", ya que hace pensar que los conjuntos abiertos no pueden ser cerrados y que los cerrados no pueden ser abiertos. Pero sí pueden.
Siempre que hablemos del complemento de un conjunto $B$ debemos tener cuidado de especificar un conjunto ambiental, es decir, cuál es "el conjunto de todo" del que $B$ ¿es un subconjunto?
Si $B$ es un subconjunto de $A$ , su complemento en $A$ es
$$A\setminus B = \{x\in A: x\not\in B\}.$$
Por ejemplo, supongamos que $B$ es el intervalo unitario $[0,1]$ . Se trata de un subconjunto de $\mathbb{R}$ . Su complemento en $\mathbb{R}$ es $$\mathbb{R}\setminus [0,1] = \{x\in\mathbb{R}: x\not\in [0,1]\} = (-\infty,0)\cup(1,\infty).$$
Por otro lado, $B$ también es un subconjunto del intervalo $[-1,1]$ . El complemento de $B$ en $[-1,1]$ es
$$[-1,1]\setminus[0,1] = \{x\in [-1,1]: x\not\in [0,1] \} = [-1,0).$$
Para reiterar, no existe un único "complemento" bien definido de un conjunto: la noción de complemento depende del conjunto del entorno.
A veces fijamos un conjunto ambiental de forma implícita. Por ejemplo, si todos los conjuntos de los que hablamos en alguna discusión son subconjuntos de $\mathbb{R}$ podríamos referirnos simplemente al "complemento" de un conjunto $B$ y significa implícitamente su complemento en $\mathbb{R}$ . En un curso de introducción al análisis real, esto es lo que se suele entender por "el complemento" de $B$ .
