Encuentre el valor de $(a+b+c)$ cuando $\cos\theta+\cos^2\theta+\cos^3\theta=1$ y $\sin^6\theta=a+b\sin^2\theta+c\sin^4\theta$

Question

Dada: $\cos\theta+\cos^2\theta+\cos^3\theta=1$ y $\sin^6\theta=a+b\sin^2\theta+c\sin^4\theta$

A continuación, encuentre el valor de $(a+b+c)$

Answer 1

Está claro que tenemos que eliminar $\cos\theta$

Tenemos $\displaystyle\cos\theta(1+\cos^2\theta)=1-\cos^2\theta\iff\cos\theta(1+1-\sin^2\theta)=\sin^2\theta$

Elevando al cuadrado obtenemos $$\cos^2\theta(2-\sin^2\theta)^2=(\sin^2\theta)^2$$ $$\iff(1-\sin^2\theta)(2-\sin^2\theta)^2=\sin^4\theta$$

Reordenar para formar una ecuación de seis grados en $\sin\theta$ y comparar con la ecuación de seis grados dada

para las constantes y los coeficientes de $\displaystyle\sin^2\theta,\sin^4\theta,\sin^6\theta$