Demostrar que $f(x)$ ser una constante

Question

Deje $f(x)$ ser función continua en R,nota $$h_{n}(x)=2^{n}\left[f\left(x+\frac{1}{2^{n}}\right)-f(x)\right]$$ con $$|h_{n}(x)|\leq M \qquad (x\in R,n\in N)$$ y $$h_{n}(x)\rightarrow 0 \qquad (n\rightarrow\infty)$$ Mostrar que $f(x)$ es una constante de la función.

Me canse de probar que para cualquier $x,h \in R$, $$|f(x+h)-f(x)|=0$$ pero no sé cómo lidiar con la enfermedad.

Answer 1

Tomar cualquier $a, b \in \mathbb{R}$ tal que $a < b$.

Desde $f$ es continuo en el $\mathbb{R}$, cada una de las $h_n$ es Lebesgue integrable sobre $[a,b]$. Desde $h_n$ converge pointwise a $0$ y todos los $|h_n|$ están delimitadas por una constante $M$ (que es trivialmente Lebesgue integrable)$[a,b]$. Por Lebesgue del teorema de convergencia dominada,

$$\lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} h_n(x) dx = \int_{a}^{b} \lim_{n\to\infty} h_n(x) dx = \int_{a}^b 0\; dx = 0$$

Aviso de $$\int_{a}^{b} h_n(x) dx = 2^{n} \int_{a}^{b}\left( f(x+\frac{1}{2^n}) - f(x) \right) dx = 2^{n} \left( \int_{b}^{b+2^{-n}} f(x) dx - \int_{a}^{a+2^{-n}} f(x) dx \right)$$ y por la continuidad de $f$$a$$b$, tenemos:

$$\lim_{n\to\infty} 2^n \int_{a}^{+2^{-n}} f(x)dx = f(a) \quad\text{ y }\quad \lim_{n\to\infty} 2^n \int_{b}^{b+2^{-n}} f(x)dx = f(b)$$ Esto implica $$f(b) - f(a) = \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b}h_n(x)dx = 0$$ y, por tanto, $f$ es una constante.

Answer 2

La condición de $|h_n(x)|\le M$ es innecesario.

Dado $\epsilon>0$, vamos a $f_\epsilon(x)=f(x)+\epsilon x$$\mathbb{R}$. De

$$\lim_{n\to\infty}2^n(f_\epsilon(x+2^{-n})-f_\epsilon(x))=\epsilon>0,\quad \forall x\in\mathbb{R},$$ es fácil ver que $f_\epsilon$ es estrictamente creciente en a $\mathbb{R}$. Dejando $\epsilon\to 0$, se deduce que el $f$ es no decreciente en $\mathbb{R}$. Un argumento similar muestra también que $f$ es no creciente en $\mathbb{R}$, lo que completa la prueba.

Answer 3

Suponemos que, al contrario, hay una función de $f$ que satisface las condiciones de que no es constante, por lo que hay algunas $x_0,a,b\in \mathbb{R}$ $a>0, b\ne0$ tal que $$f(x_0+a)=f(x_0)+b$$ Desde $f$ es continua no es un $\delta>0$ tal que $|f(x_0+a+d)-f(x_0+a)|<|b|/2$ todos los $d\in(-\delta,\delta)$.

La elección de $N$ tal que $2^{-N}<\delta$ podemos encontrar $D\in[0,\delta)$, de modo que $2^N(a+D)=K\in \mathbb{Z}$, es decir, de modo que podemos dividir el intervalo de $[x_0,x_0+a+D]$ a $K$ a partes iguales de longitud $2^{-N}$.

Entonces $$|f(x_0+a+D)-f(x_0)|>|b|/2\\ |f(x_0+K 2^{-N}) - f(x_0)|>|b|/2$$ así que teniendo en cuenta los cambios en $f$ en cada intervalo de $[x_0+j2^{-N},x_0+(j+1)2^{-N}]$ $j=0,1,\ldots,K-1$ debe haber un $j$ que satisface $$|f(x_0+(j+1)2^{-N})-f(x_0+j2^{-N})|>\frac {b}{2K}$$ Del mismo modo, para cualquier $n>N$ tenemos $2^n(a+D)=2^{n-N}K$ y no debe ser un $j\in\{0,1,\ldots,2^{n-N}K-1\}$ que satisface $$|f(x_0+(j+1)2^{-n})-f(x_0+j2^{-n})|>\frac {b}{2^{n-N+1}K}$$ es decir, la escritura de $X=x_0+j2^{-n}$, $$h_n(X) = 2^n|f(X+2^{-n})-f(X)|>\frac{2^{N-1}|b|}{K}$$ Pero esto es imposible, ya que el lado derecho fijo es un número positivo, mientras que debemos tener $h_n(X)\rightarrow 0$$n\rightarrow \infty$. Por lo tanto nuestra hipótesis inicial debe ser incorrecta, y que no puede ser un no-constante $f$ con esta condición en $h$.