Una pregunta sobre la prueba de Cantor de la contabilidad de los números algebraicos.

Question

Así que el ejercicio 2.2 de Baby Rudin me llevó a la prueba original de Cantor de la contabilidad de los números algebraicos. Ver aquí para una traducción en inglés del artículo de Cantor.

La pregunta que tengo es sobre el cálculo de la función de altura definida por Cantor, para la ecuación:

$$\begin{equation}a_0\omega^n+a_1\omega^{n-1}+\dots+a_n=0\tag{1}\end{equation}$$

donde todos los coeficientes son enteros. Aquí está la parte relevante de Cantor:

Si volvemos a la ecuación (1), que un número algebraico $\omega$ satisface y que, según nuestras restricciones, está completamente determinada, podemos llamar a la suma de los valores absolutos de los coeficientes y el número $n-1$ (donde $n$ es el grado de $\omega$ ) el altura del número $\omega$ y denotarlo con $N$ utilizando la notación común, tenemos por tanto $$N=n-1+|a_0|+|a_1|+\dots+|a_n|.\tag{3}$$ Según esto, la altura $N$ es para cada número algebraico real un número entero positivo especificado; a la inversa, para cada valor entero positivo de $N$ sólo hay un número finito de números reales algebraicos con altura $N$ ; dejemos que el número de estos sea $\varphi(N)$ ; por ejemplo, $\varphi(1)=1$ ; $\varphi(2)=2$ ; $\varphi(3)=4.$

Pregunta: Pero cuando intento calcular $\varphi(N)$ no coincide con los resultados de Cantor. Por ejemplo, considere $\varphi(2)$ - hay dos casos posibles, uno para el grado $n=1$ y otros para el grado $n=2$ . Para $n=1$ tenemos de (3), $$2=1-1+|a_0|+|a_1|\implies 2=|a_0|+|a_1|\implies|a_0|=|a_1|=1\quad\text{or}\quad |a_0|=2$$ que corresponden respectivamente a las ecuaciones $\omega\pm 1=0$ y $2\omega = 0$ . Así, para $n=1$ solo obtenemos $3$ tal $\omega$ .

Dónde está mi error de cálculo $\varphi$ ?

Answer 1

Obsérvese el requisito de la primera frase "los coeficientes $a_0, a_1, \dots, a_n$ no tener un factor común".

En la ecuación $2\omega = 0$ con $a_0 = 2$ y $a_1 = 0$ , ambos $a_0$ y $a_1$ tienen $2$ como factor común, por lo que esta ecuación no está permitida. (El cero es divisible por cualquier número).

Esto tiene sentido porque, de lo contrario, sería ambiguo si $\omega = 0$ tiene la altura 1 o 2. Se supone que hay una ecuación única "según nuestras restricciones" satisfecha por cada número algebraico, y así por estas reglas, la ecuación para $\omega=0$ es $\omega + 0 = 0$ ( $a_0 = 1, a_1 = 0$ ) y no $2\omega + 0 = 0$ .