Un problema con centralizador y ciclos

Question

Acabo de empezar a estudiar el grupo $S_n$ y tengo problemas con la notación del ciclo por lo que este problema parece un poco difícil. Cualquier ayuda será profundamente apreciada:

Si $a \in S_n$ es un $n$ -ciclo o un $(n-1)$ -entonces el centralizador de $a$ es igual al grupo cíclico $\langle a\rangle$ .

Answer 1

Dejemos que $a$ ser un $m$ -ciclo. El número de conjugados de $a$ es el número de $m$ -ciclos, que es: $$ \frac{n(n-1)\cdots(n-m+1)}{m} $$

Por el teorema del estabilizador orbital el número de conjugados de $a$ es: $$ \frac{\left|S_n\right|}{\left|C_{S_n}(a)\right|} = \frac{n!}{\left|C_{S_n}(a)\right|} $$

Dónde $C_{S_n}(a)$ es el centralizador de $a$ en $S_n$ . De ello se desprende que: $$ \left|C_{S_n}(a)\right| = m (n-m)! \tag{1} $$

Desde $a$ conmuta con todos los elementos del grupo cíclico $\langle a \rangle$ tenemos: $$ \langle a \rangle \le C_{S_n}(a) \tag{2} $$

Para $m \in \{n-1, n\}$ , $(1)$ da $\left|C_{S_n}(a)\right| = m$ . Desde $\left|\langle a \rangle\right| = m$ tenemos igualdad en $(2)$ .