La menor distancia esperada entre los dos puntos más cercanos de $n$ extraído de una distribución

Question

Supongamos que dibujo $n$ puntos en $\mathbb{R}$ de una distribución $p$ . ¿Cuál es la menor distancia esperada entre dos de los puntos dibujados? Me interesa especialmente la distribución uniforme $\texttt{Unif}(a,b)$ .

Me interesaría conocer otras estadísticas sobre esta variable aleatoria además de su expectativa.

Answer 1

Con la distribución uniforme, esto se puede discretizar muy bien, y entonces conduce a un problema combinatorio estándar. Para simplificar, estoy trabajando en el intervalo $[0,1]$ .

Así que divide el intervalo en $N$ subintervalos iguales ( $N$ es grande). Entonces elegimos $n$ de éstos (los puntos elegidos se identifican por los pequeños intervalos que contienen), e imagina que la distancia de los puntos es aproximadamente la distancia de los puntos medios de los intervalos.

Así que al reescalar con un múltiplo $N$ , realmente tenemos números $1, \ldots, N$ representando a las sillas, elige $n$ de ellos al azar (dejamos que $n$ personas sentadas), y la variable aleatoria es la distancia de las dos personas más cercanas. Número de casos: aproximadamente $\binom{N}{n}$ (las personas son gemelas; también podemos suponer que no hay dos personas sentadas en la misma silla, ya que no hay diferencia para los grandes $N$ ). Número de casos en los que la distancia mínima es al menos $k$  para $1\leq k\leq (N-1)/(n+1)$ ? Para conseguirlo, haz que la gente saque el brazo izquierdo, de manera que no sólo cubra su propia silla, sino también la de al lado $k-1$ a la izquierda. Para que las últimas sillas estén disponibles, tenemos que insertar $k-1$ sillas adicionales a la izquierda.

Eso significa que la imagen resultante después de que la gente se siente contendrá $n$ personas con los brazos extendidos y $N+k-1-nk$ sillas desocupadas. Así que el número de posibilidades es el número de elegir $n$ objetos fuera de $N+k+n-1-nk$ que es $\binom{N-(n-1)(k-1)}{n}$ .

Así que el valor esperado es $$\frac{1}{\binom{N}{n}}\sum\limits_{k=1}^{(N-1)/(n+1)} \binom{N-(n-1)(k-1)}{n}= \frac{1}{\binom{N}{n}}\sum\limits_{k=0}^{(N-n-2)/(n+1)} \binom{N-k(n-1)}{n}$$

La estimación $\binom{N-k(n-1)}{n}\approx \frac{1}{n!} (N-nk)^n$ introduce poco error en la región correspondiente. Así que la suma es de aproximadamente $\frac{n!}{N^n}\frac{1}{n!}\sum\limits_{k=0}^{(N-n-2)/(n+1)} (N-k(n-1))^n = \sum\limits_{k=0}^{(N-n-2)/(n+1)} (1-k\frac{n-1}{N})^n = \frac{N}{n-1}\sum\limits_{k=0}^{(N-n-2)/(n+1)} \frac{n-1}{N}(1-k\frac{n-1}{N})^n$ .

Este último sumatorio es (casi) una aproximación superior de Riemann de la integral $\int\limits_{0}^{1} x^n = \frac{1}{n+1}$ por lo que obtenemos $\frac{N}{n^2-1}$ . Tras la compensación por el factor de reajuste $N$ tenemos que la respuesta a la pregunta original es $\frac{1}{n^2-1}$ .

Mañana volveré a comprobar las estimaciones, es bastante tarde aquí. Tal vez algunos errores necesiten un poco más de cuidado, pero estoy seguro de que el argumento general está bien.