Si los conjuntos definidos por una fórmula son todos triviales, ¿qué podemos concluir de ello?

Question

Dejemos que $\mathcal L$ ser una lengua, $n$ un número entero positivo y $\phi=\phi(x_1,\dots,x_n)$ un $\mathcal L$ -fórmula que tiene $x_1,\dots,x_n$ como variables libres.

Entonces, para cada $\mathcal L$ -estructura $\mathfrak A$ hay un conjunto $\phi^{\mathfrak A}$ definido por $\phi$ como: $$\phi^{\mathfrak A}:=\{(a_1,\dots,a_n)\in |\mathfrak A|^n: \mathfrak A\vDash\phi[a_1,\dots,a_n]\}$$ donde $|\mathfrak A|$ denota el dominio de la estructura $\mathfrak A$ .

Ahora bien, que para cada $\mathcal L$ -estructura $\mathfrak A$ que tenemos: $$\phi^{\mathfrak A}=\varnothing\text{ or }\phi^{\mathfrak A}=|\mathfrak A|^n$$

¿Podemos concluir de ello que una de las siguientes afirmaciones debe ser cierta?

• $\phi^{\mathfrak A}=\varnothing$ por cada $\mathcal L$ -estructura $\mathfrak A$ .
• $\phi^{\mathfrak A}=|\mathfrak A|^n$ por cada $\mathcal L$ -estructura $\mathfrak A$ .

Answer 1

No, no podemos; dejemos $\phi'$ sea cualquier $\mathcal{L}$ -sentencia (así $\phi'$ no contiene ninguna variable libre), y dejemos que $\phi$ sea el $\mathcal{L}$ -fórmula $\phi'\wedge\bigwedge_{i=1}^nx_i=x_i$ . (Tenga en cuenta que $\phi$ contiene, en efecto, todos los $x_i$ como una variable libre, aunque de forma vacía). Entonces, si $\mathfrak{A}\models\phi'$ tenemos $\phi^\mathfrak{A}=|\mathfrak{A}|^n$ y si $\mathfrak{A}\models\neg\phi'$ tenemos $\phi^\mathfrak{A}=\emptyset$ . Ya que cada $\mathcal{L}$ -sentencia se mantiene o no se mantiene en un $\mathcal{L}$ -una de estas dos situaciones. Así, la elección de $\phi'$ para que haya algunas estructuras en las que se cumple y otras en las que no se cumple proporciona un contraejemplo.