¿Demuestra que (p q) (p q) es una tautología?

Question

Me cuesta un poco entender las pruebas sin tablas de verdad sobre todo cuando se trata de

Aquí hay un problema que me confunde:

Demuestre que (p q) (p q) es una tautología

El primer paso muestra: (p q) (p q) ¬(p q) (p q)

He estado leyendo mi libro de texto y mirando las leyes de equivalencia. Sé la respuesta a esto pero no entiendo el primer paso.

¿Cómo es (p q) ¬(p q)?

Si alguien pudiera explicar esto le estaría muy agradecido. Estoy seguro de que es algo simple y lo estoy pasando por alto.

Lo primero que quiero hacer al ver esto es
(p q) (p q) ¬(p ¬q)(p q)

pero la respuesta se muestra:
¬ (p q) (p q) (por equivalencia lógica)

No veo una ley de equivalencia que explique esto.

Answer 1

Se debe a la siguiente ley de equivalencia, que se puede demostrar a partir de una tabla de verdad: $$r\rightarrow s\equiv \lnot r\lor s.$$ Si dejas que $r = p\land q$ y $s = p\lor q$ , se obtiene lo que se busca, es decir, que $$(p\land q)\rightarrow (p\lor q)\equiv \lnot(p\land q)\lor(p\lor q).$$

Answer 2

Se trata de una equivalencia clásica $$p\to q \equiv \neg p\lor q.\tag 1$$

Podemos examinar la equivalencia utilizando una tabla de verdad \begin{array}{c|c|c|c|c} p&q&\neg p&p\to q&\neg p\lor q\\\hline T&T&F&T&T\\\hline T&F&F&F&F\\\hline F&T&T&T&T\\\hline F&F&T&T&T \end{array}

Por lo tanto, $p\to q\equiv \neg p\lor q$ .

Además, si $a \equiv p\land q$ y $b\equiv p\lor q$ y así
$$a\to b\equiv \neg a\lor b\equiv \neg(p\land q)\lor(p\lor q)\equiv (\neg p\lor \neg q)\lor (p\lor q),$$ utilizando $(1)$ .

Answer 3

Para mostrar (p q) (p q).

Si (p q) es verdadera entonces tanto p como q son verdaderas, por lo que (p q) es verdadera, y $T \to T$ es cierto.

Si (p q) es falso entonces (p q) (p q) es verdadera, porque falso implica cualquier cosa.

Q.E.D.

Answer 4

Sé que has preguntado específicamente por una prueba determinada, pero aquí tienes otra forma:

(1) Supongamos que p q

(2) Por -eliminación, p

(3) Por -introducción, p q

(4) Por -introducción y marcando el supuesto (1), (p q) (p q).

En un lenguaje menos formal: si P y Q es verdadera, entonces puedes mirar P o Q por separado y debe ser verdadera. Ahora, a partir de cualquier enunciado verdadero se puede crear un enunciado verdadero más largo creando una disyunción con cualquier enunciado: si P es verdadero, entonces "P o R" también es verdadero para cualquier enunciado R (por ejemplo, si estás seguro de que "está lloviendo", entonces también es el caso de que "está lloviendo o eres un dragón"). En concreto, tomar R = Q en este caso permite razonar que P o Q es cierto.

Answer 5

O bien:

 p  q        Assumed           <--------\
 p            base Extract P  Q  P     |
 p  q        base Widening P  P  Q    |
 (pq)(pq)  pop assumption            -/

Esto no se ve bien, necesita una fuente de ancho fijo.