número de mapas lineales de $E\to E$ que satisfagan $f^2=0$ donde E es un espacio vectorial Z/pZ

Question

Sea E $Z/pZ$ -espacio vectorial de dimensión n. calcular el número de mapas lineales de $E\to E$ que satisfagan $f^2=0$ hay una pista que sugiere que se considere el espacio nulo y el subespacio en suma directa con él.

Sé que el número de subespacios de una dimensión dada se da un post anterior: ¿Cómo contar el número de bases y subespacios de una dimensión dada en un espacio vectorial sobre un campo finito? pero no sé por dónde empezar, ¡alguna ayuda por favor!

Answer 1

Dejemos que $K:=\operatorname{Ker}(f)$ y $I:=\operatorname{Im}(f)$ .

$f^2=0$ equivale a $I\subseteq K$ .

Así que primero eliges un subespacio $K$ de $E$ y luego elegir un subespacio $I$ de $K$ . Los conjuntos de funciones que obtendrá para diferentes $K$ y $I$ son claramente disjuntos por lo que si se consigue contar para cada $I$ y $K$ Entonces, sólo tendrás que sumar todos los $I$ y $K$ .

Ahora, supongamos que $I$ y $K$ arreglado. Toma un poco de $H$ para que $E=H\oplus K$ . Entonces es equivalente a dar la acción de algún $f$ en $E$ o darlo en ambos $H$ y $K$ . Dado que la acción sobre $K$ es trivial, dando la acción de $f$ en $E$ equivale a dar su acción sobre $H$ es decir, una función $H\to I$ que tiene imagen $I$ . Como esas funciones son suryentes y ambos espacios son o igual dimensión, esas funciones serán todas automorfismos. Ahora tomemos $\varphi$ cualquier automorfismo (fijo) entre $I$ y $H$ . La aplicación $( g : H \to I)\mapsto (\varphi \circ g : H \to H)$ es una biyección. Así que para contar los morfismos cuando $I$ y $K$ son fijos, sólo hay que contar los automorfismos de $I$ .

Answer 2

Basándonos en la explicación de la otra respuesta, podemos calcular el total de la siguiente manera: dejemos que $m = \lceil n/2\rceil$ . Entonces en la anotación del post que enlazaste el total será $$ \sum_{j=m}^n \binom nj_p \binom{j}{n-j}_p \prod_{k=0}^{j-1}(p^j - p^k) $$